Εκθετικές και λογαριθμικές ανισώσεις

Εκθετική ανίσωση είναι μια εκθετική εξίσωση, στην οποία αντί για το σύμβολο της ισότητας υπάρχει σύμβολο ανισότητας. Για παράδειγμα αυτή:

$$2^x>8$$

Η διαδικασία ξεκινά όπως στην εξίσωση. Το οκτώ το γράφουμε ως δύναμη του δύο:

$$2^x>2^3$$

Στην εξίσωση 2^x = 2³ τώρα θα συγκρίναμε τους εκθέτες και θα έβγαινε x = 3. Γιατί επιτρέπεται αυτό; Η συνάρτηση 2^x είναι γνησίως αύξουσα: όσο μεγαλύτερος ο εκθέτης, τόσο μεγαλύτερη η δύναμη. Επομένως δεν παίρνει ποτέ την ίδια τιμή δύο φορές, και δύο δυνάμεις του δύο είναι ίσες μόνο όταν έχουν τον ίδιο εκθέτη. Η ίδια σκέψη βοηθά και στην ανίσωση, απλώς πρέπει επιπλέον να αποφασίσουμε προς ποια κατεύθυνση. Το δύο υψωμένο σε κάποιον εκθέτη είναι μεγαλύτερο από το δύο στην τρίτη ακριβώς τότε, όταν ο εκθέτης είναι μεγαλύτερος από το τρία:

$$x>3$$

Λύση είναι το διάστημα (3, +∞). Ταιριάζει: το 2⁴ = 16 είναι περισσότερο από οκτώ, το 2² = 4 όμως όχι. Στο σχήμα αυτό είναι το τμήμα του άξονα x'x, πάνω από το οποίο η κόκκινη γραφική παράσταση βρίσκεται ψηλότερα από την πράσινη ευθεία.

Διαφορετικά καταλήγει μια ανίσωση με βάση μικρότερη από ένα, για παράδειγμα η ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Η συνάρτηση ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ είναι γνησίως φθίνουσα: όσο μεγαλύτερος ο εκθέτης, τόσο περισσότερες φορές πολλαπλασιάζουμε με το ένα δεύτερο και τόσο μικρότερος αριθμός προκύπτει. Στο σχήμα είναι μπλε:

Πάνω από την ευθεία y = 8 ανεβαίνει μόνο αριστερά του −3, άρα η ανίσωση ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ έχει λύση x < −3. Το σύμβολο της ανισότητας άλλαξε φορά. Όλη η μαγεία των εκθετικών ανισώσεων βρίσκεται σε αυτόν τον κανόνα:

• βάση μεγαλύτερη από ένα: η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και το σύμβολο της ανισότητας μένει ίδιο,
• βάση ανάμεσα στο μηδέν και στο ένα: η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και το σύμβολο της ανισότητας αλλάζει φορά.

Βάση μικρότερη από ένα

Ας πιάσουμε την ανίσωση

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Το εννιά πρέπει να το γράψουμε ως δύναμη του ενός τρίτου. Το ένα τρίτο στη μείον πρώτη δίνει τρία, στη μείον δεύτερη εννιά:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Οι βάσεις είναι ίδιες, όμως η βάση $\frac{1}{3}$ είναι μικρότερη από ένα. Συγκρίνουμε λοιπόν τους εκθέτες και αλλάζουμε φορά στο σύμβολο της ανισότητας:

$$x\le -2$$

Λύση είναι το διάστημα (−∞, −2]. Επαληθεύουμε με x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, που είναι πράγματι περισσότερο από εννιά.

Το συχνότερο λάθος σε αυτά τα παραδείγματα είναι: δεν άλλαξα φορά στην ανισότητα. Όποιος γράψει x ≥ −2, θα δεχόταν για παράδειγμα το μηδέν. Όμως ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ και το ένα είναι μικρότερο από το εννιά.

Αν δυσκολεύεσαι με τα κλάσματα στη βάση, μπορείς να γράψεις το $\frac{1}{3}$ ως 3⁻¹. Η ανίσωση γίνεται τότε 3^−x ≥ 3², δηλαδή −x ≥ 2. Αυτή τη φορά η βάση είναι μεγαλύτερη από ένα και το σύμβολο μένει ίδιο, όμως στη διαίρεση με το μείον ένα αλλάζει φορά σύμφωνα με τους κανόνες των ισοδύναμων μετατροπών ανισώσεων. Βγαίνει πάλι x ≤ −2. Το σύμβολο της ανισότητας αλλάζει φορά έτσι κι αλλιώς.

Όταν δεν βγαίνει ίδια βάση

Στην ανίσωση 3^x < 5 το πέντε δεν μπορούμε να το γράψουμε ως δύναμη του τρία με ακέραιο εκθέτη. Τα βγάζουμε πέρα όπως στις εξισώσεις: λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη, αυτή τη φορά με λογάριθμο με βάση το τρία. Αυτός είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, άρα το σύμβολο της ανισότητας δεν αλλάζει: log₃ 3^x < log₃ 5, δηλαδή x < log₃ 5. Το αποτέλεσμα λοιπόν το αφήνουμε ήσυχα όπως είναι. Την κατά προσέγγιση θέση του αριθμού μάς τη δείχνει η ανισότητα 3 < 5 < 9, άρα το log₃ 5 βρίσκεται ανάμεσα στο log₃ 3 = 1 και στο log₃ 9 = 2.

Λογαριθμικές ανισώσεις

Στις λογαριθμικές ανισώσεις ισχύει ο ίδιος κανόνας για τη βάση και προστίθεται ένας περιορισμός, που τον ξέρουμε από τις λογαριθμικές εξισώσεις: το όρισμα του λογαρίθμου πρέπει να είναι θετικό. Ας το δοκιμάσουμε στην ανίσωση

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Πρώτα ο περιορισμός: x − 1>0, δηλαδή x>1. Μετά το τρία το γράφουμε ως λογάριθμο με βάση το δύο, επειδή 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Η βάση δύο είναι μεγαλύτερη από ένα, ο λογάριθμος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και το σύμβολο της ανισότητας μένει ίδιο:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Στο τέλος συνδυάζουμε το αποτέλεσμα με τον περιορισμό. Πρέπει να ισχύει x>1 και ταυτόχρονα x<9, άρα λύση είναι το διάστημα (1, 9). Για έλεγχο παίρνουμε x = 5: log₂ 4 = 2, που είναι πράγματι λιγότερο από τρία.

Στο σχήμα φαίνεται η λύση: η κόκκινη γραφική παράσταση είναι κάτω από την πράσινη ευθεία για κάθε x από το ένα ως το εννιά. Αριστερά από το ένα δεν υπάρχει καθόλου γραφική παράσταση, γιατί εκεί ο λογάριθμος δεν ορίζεται. Αυτός είναι ο περιορισμός x>1.

Εδώ το λάθος γίνεται αλλού απ' ό,τι στις εκθετικές ανισώσεις. Όποιος ξεχάσει τον περιορισμό, γράφει ως αποτέλεσμα x<9. Σε αυτό όμως ανήκει και το μηδέν και το log₂(0 − 1) = log₂(−1) δεν υπάρχει. Στην εξίσωση έναν ξεχασμένο περιορισμό θα τον πρόδιδε η επαλήθευση, στην ανίσωση όμως βγαίνουν άπειροι αριθμοί και δεν μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε όλους. Γι' αυτό τον περιορισμό τον γράφουμε πάντα αμέσως στην αρχή.

Στο τελευταίο παράδειγμα συναντιούνται και οι δύο παγίδες:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Ο περιορισμός είναι x>0. Το δύο το γράφουμε ως λογάριθμο με βάση το ένα δεύτερο, επειδή ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Η βάση είναι μικρότερη από ένα, άρα το σύμβολο της ανισότητας αλλάζει φορά για δεύτερη φορά:

$$x<\frac{1}{4}$$

Με τον περιορισμό x>0 παίρνουμε τη λύση $(0,\frac{1}{4})$. Ελέγχουμε για παράδειγμα το $x=\frac{1}{8}$: το ένα δεύτερο στην τρίτη είναι ένα όγδοο, άρα ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, και αυτό είναι πράγματι περισσότερο από δύο.