Inecuaciones exponenciales y logarítmicas

Una inecuación exponencial es una ecuación exponencial en la que, en lugar del signo igual, hay un signo de desigualdad. Por ejemplo, esta:

$$2^x>8$$

El procedimiento empieza igual que en una ecuación. Escribimos el ocho como potencia de dos:

$$2^x>2^3$$

En la ecuación 2^x = 2³ compararíamos ahora los exponentes y saldría x = 3. ¿Por qué podemos hacerlo? La función 2^x es creciente: cuanto mayor es el exponente, mayor es la potencia. Por eso nunca toma dos veces el mismo valor, y dos potencias de dos son iguales solo cuando tienen el mismo exponente. El mismo razonamiento sirve también para la inecuación, solo que además hay que decidir en qué sentido. Dos elevado a algo es mayor que dos al cubo si y solo si ese algo es mayor que tres:

$$x>3$$

La solución es el intervalo (3, +∞). Cuadra: 2⁴ = 16 es más que ocho, pero 2² = 4 no. En la figura es la parte del eje x sobre la cual la gráfica roja queda por encima de la recta verde.

Una inecuación con base menor que uno sale de otra manera, por ejemplo ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. La función ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ es decreciente: cuanto mayor es el exponente, más veces multiplicamos por un medio y menor es el número que sale. En la figura está en azul:

Solo sube por encima de la recta y = 8 a la izquierda de −3, así que la inecuación ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ tiene como solución x < −3. El signo se ha invertido. Todo el secreto de las inecuaciones exponenciales está en esta regla:

• base mayor que uno: la función es creciente y el signo de la desigualdad se mantiene,
• base entre cero y uno: la función es decreciente y el signo se invierte.

Base menor que uno

Vamos con la inecuación

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Tenemos que escribir el nueve como potencia de un tercio. Un tercio elevado a menos uno da tres, y elevado a menos dos da nueve:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Las bases coinciden, pero la base $\frac{1}{3}$ es menor que uno. Así que comparamos los exponentes e invertimos el signo:

$$x\le -2$$

La solución es el intervalo (−∞, −2]. Lo comprobamos con x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, que efectivamente es más que nueve.

El error más frecuente en estos ejercicios es: no he invertido el signo. A quien escriba x ≥ −2 le valdría, por ejemplo, el cero. Pero ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ y uno es menor que nueve.

Si no te manejas bien con fracciones en la base, puedes reescribir $\frac{1}{3}$ como 3⁻¹. La inecuación queda entonces 3^−x ≥ 3², es decir, −x ≥ 2. Esta vez la base es mayor que uno y el signo se mantiene, pero al dividir entre menos uno se invierte según las reglas para transformar inecuaciones. Vuelve a salir x ≤ −2. El signo se invierte de todas formas.

Cuando no sale la misma base

En la inecuación 3^x < 5 no podemos escribir el cinco como potencia de tres con exponente entero. Nos las arreglamos igual que con las ecuaciones: tomamos logaritmos en los dos miembros, esta vez de base tres. Este logaritmo es creciente, así que el signo no cambia: log₃ 3^x < log₃ 5, es decir, x < log₃ 5. El resultado podemos dejarlo tranquilamente así. La posición aproximada del número la revela la desigualdad 3 < 5 < 9, de modo que log₃ 5 está entre log₃ 3 = 1 y log₃ 9 = 2.

Inecuaciones logarítmicas

En las inecuaciones logarítmicas vale la misma regla sobre la base y aparece una condición más, que conocemos de las ecuaciones logarítmicas: el argumento del logaritmo tiene que ser positivo. Probémoslo con la inecuación

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Primero la condición: x − 1>0, es decir, x>1. Después escribimos el tres como logaritmo de base dos, porque 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

La base dos es mayor que uno, el logaritmo es creciente y el signo se mantiene:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Por último, juntamos el resultado con la condición. Tiene que cumplirse x>1 y a la vez x<9, así que la solución es el intervalo (1, 9). Para comprobarlo tomamos x = 5: log₂ 4 = 2, que efectivamente es menos que tres.

En la figura se ve la solución: la gráfica roja está por debajo de la recta verde para todos los x de uno a nueve. A la izquierda del uno no hay gráfica, porque allí el logaritmo no existe. Esa es la condición x>1.

Aquí el error es distinto que en las inecuaciones exponenciales. Quien olvide la condición escribirá el resultado x<9. Pero ahí entra también el cero, y log₂(0 − 1) = log₂(−1) no existe. En una ecuación, la condición olvidada la delataría la comprobación, pero en una inecuación salen infinitos números y no se pueden sustituir todos. Por eso la condición se escribe siempre al principio.

En el último ejemplo coinciden las dos trampas:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

La condición es x>0. Escribimos el dos como logaritmo de base un medio, porque ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

La base es menor que uno, así que el signo se invierte por segunda vez:

$$x<\frac{1}{4}$$

Con la condición x>0 obtenemos la solución $(0,\frac{1}{4})$. Comprobamos, por ejemplo, $x=\frac{1}{8}$: un medio al cubo es un octavo, así que ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, y eso es realmente más que dos.