Exponential- och logaritmolikheter

En exponentialolikhet är en exponentialekvation där det står ett olikhetstecken i stället för likhetstecknet. Till exempel den här:

$$2^x>8$$

Metoden börjar på samma sätt som för ekvationen. Vi skriver åtta som en potens av två:

$$2^x>2^3$$

För ekvationen 2^x = 2³ skulle vi nu jämföra exponenterna och få x = 3. Varför får vi göra det? Funktionen 2^x är strängt växande: ju större exponent, desto större potens. Den antar därför inget värde två gånger, och två potenser av två är lika bara när de har samma exponent. Samma resonemang hjälper oss också med olikheten, men då måste vi dessutom avgöra åt vilket håll. Två upphöjt till något är större än två upphöjt till tre precis när det något är större än tre:

$$x>3$$

Lösningen är intervallet ]3, +∞[. Det stämmer: 2⁴ = 16 är mer än åtta, men 2² = 4 är det inte. I figuren är det den del av x-axeln där den röda grafen ligger högre än den gröna linjen.

Annorlunda går det för en olikhet med en bas som är mindre än ett, till exempel ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Funktionen ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ är strängt avtagande: ju större exponent, desto fler gånger multiplicerar vi med en halv och desto mindre blir talet. I figuren är den blå:

Grafen ligger över linjen y = 8 bara till vänster om −3, så olikheten ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ har lösningen x < −3. Olikhetstecknet har vänts. Hela tricket med exponentialolikheter ligger i den här regeln:

• bas större än ett: funktionen är strängt växande och olikhetstecknet behålls,
• bas mellan noll och ett: funktionen är strängt avtagande och olikhetstecknet vänds.

Bas mindre än ett

Vi tar oss an olikheten

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Nio måste vi skriva som en potens av en tredjedel. En tredjedel upphöjt till minus ett ger tre, en tredjedel upphöjt till minus två ger nio:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Baserna är lika, men basen $\frac{1}{3}$ är mindre än ett. Vi jämför alltså exponenterna och vänder tecknet:

$$x\le -2$$

Lösningen är intervallet ]−∞, −2]. Vi kontrollerar med x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, vilket verkligen är mer än nio.

Det vanligaste felet i de här uppgifterna lyder: jag vände inte tecknet. Den som skriver x ≥ −2 skulle få med till exempel noll. Men ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, och ett är mindre än nio.

Om du inte tycker om att arbeta med bråk i basen kan du skriva om $\frac{1}{3}$ som 3⁻¹. Olikheten blir då 3^−x ≥ 3², alltså −x ≥ 2. Basen är den här gången större än ett och tecknet behålls, men när vi dividerar med minus ett vänds det enligt reglerna för omskrivning av olikheter. Vi får återigen x ≤ −2. Tecknet vänds i alla fall.

När det inte går att få samma bas

I olikheten 3^x < 5 går det inte att skriva fem som en potens av tre med ett heltal som exponent. Vi klarar oss på samma sätt som för ekvationer: vi logaritmerar båda sidor, den här gången med logaritmen med basen tre. Den är strängt växande, så tecknet ändras inte: log₃ 3^x < log₃ 5, alltså x < log₃ 5. Resultatet kan vi gott låta stå kvar. Talets ungefärliga läge avslöjas av olikheten 3 < 5 < 9, så log₃ 5 ligger mellan log₃ 3 = 1 och log₃ 9 = 2.

Logaritmolikheter

För logaritmolikheter gäller samma regel om basen, och det tillkommer ett villkor som vi känner igen från logaritmekvationer: argumentet till logaritmen måste vara positivt. Vi provar på olikheten

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Först villkoret: x − 1>0, alltså x>1. Sedan skriver vi trean som en logaritm med basen två, eftersom 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Basen två är större än ett, logaritmen är strängt växande och tecknet behålls:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Till sist kombinerar vi resultatet med villkoret. Det måste gälla att x>1 och samtidigt x<9, så lösningen är intervallet ]1, 9[. Som kontroll tar vi x = 5: log₂ 4 = 2, vilket verkligen är mindre än tre.

I figuren syns lösningen: den röda grafen ligger under den gröna linjen för alla x från ett till nio. Till vänster om ett finns ingen graf alls, eftersom logaritmen inte finns där. Det är villkoret x>1.

Här blir felet ett annat än för exponentialolikheter. Den som glömmer villkoret skriver resultatet x<9. Dit hör också noll, och log₂(0 − 1) = log₂(−1) finns inte. För en ekvation skulle kontrollen avslöja ett glömt villkor, men för en olikhet blir det oändligt många tal och vi kan inte sätta in alla. Därför skriver vi alltid villkoret direkt i början.

I det sista exemplet möts båda fällorna:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Villkoret är x>0. Tvåan skriver vi som en logaritm med basen en halv, eftersom ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Basen är mindre än ett, så tecknet vänds en andra gång:

$$x<\frac{1}{4}$$

Tillsammans med villkoret x>0 får vi lösningen $]0,\frac{1}{4}[$. Vi kontrollerar med till exempel $x=\frac{1}{8}$: en halv upphöjt till tre är en åttondel, så ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, och det är verkligen mer än två.