Exponential- und Logarithmusungleichungen

Eine Exponentialungleichung ist eine Exponentialgleichung, in der statt des Gleichheitszeichens ein Ungleichheitszeichen steht. Zum Beispiel diese:

$$2^x>8$$

Das Vorgehen beginnt wie bei einer Gleichung. Die Acht schreiben wir als Potenz von zwei:

$$2^x>2^3$$

Bei der Gleichung 2^x = 2³ würden wir jetzt die Exponenten vergleichen, und es käme x = 3 heraus. Warum dürfen wir das? Die Funktion 2^x ist streng monoton steigend: Je größer der Exponent, desto größer die Potenz. Keinen Wert nimmt sie deshalb zweimal an, und zwei Zweierpotenzen sind nur dann gleich, wenn sie denselben Exponenten haben. Dieselbe Überlegung hilft auch bei der Ungleichung, nur müssen wir zusätzlich entscheiden, in welche Richtung. Zwei hoch irgendetwas ist genau dann größer als zwei hoch drei, wenn dieses Irgendetwas größer als drei ist:

$$x>3$$

Die Lösung ist das Intervall ]3; +∞[. Das stimmt: 2⁴ = 16 ist mehr als acht, 2² = 4 aber nicht. In der Abbildung ist das der Teil der x-Achse, über dem der rote Graph höher verläuft als die grüne Gerade.

Anders fällt eine Ungleichung mit einer Basis kleiner als eins aus, zum Beispiel ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Die Funktion ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ist streng monoton fallend: Je größer der Exponent, desto öfter multiplizieren wir mit einem Halben und desto kleiner wird das Ergebnis. In der Abbildung ist sie blau:

Über die Gerade y = 8 steigt sie nur links von −3, die Ungleichung ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ hat also die Lösung x < −3. Das Ungleichheitszeichen hat sich umgedreht. Der ganze Zauber der Exponentialungleichungen steckt in dieser Regel:

• Basis größer als eins: Die Funktion ist streng monoton steigend, und das Ungleichheitszeichen bleibt,
• Basis zwischen null und eins: Die Funktion ist streng monoton fallend, und das Ungleichheitszeichen dreht sich um.

Basis kleiner als eins

Wir lösen die Ungleichung

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Die Neun müssen wir als Potenz von einem Drittel schreiben. Ein Drittel hoch minus eins ergibt drei, ein Drittel hoch minus zwei ergibt neun:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Die Basen stimmen überein, aber die Basis $\frac{1}{3}$ ist kleiner als eins. Wir vergleichen also die Exponenten und drehen das Ungleichheitszeichen um:

$$x\le -2$$

Die Lösung ist das Intervall ]−∞; −2]. Wir prüfen mit x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, und das ist tatsächlich mehr als neun.

Der häufigste Fehler bei diesen Aufgaben lautet: Ich habe das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht. Wer x ≥ −2 schreibt, für den wäre zum Beispiel null eine Lösung. Aber ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, und eins ist kleiner als neun.

Wenn dir Brüche in der Basis Schwierigkeiten machen, kannst du $\frac{1}{3}$ als 3⁻¹ schreiben. Die Ungleichung lautet dann 3^−x ≥ 3², also −x ≥ 2. Diesmal ist die Basis größer als eins, und das Zeichen bleibt, beim Dividieren durch minus eins dreht es sich aber um, nach den Regeln für Äquivalenzumformungen. Es ergibt sich wieder x ≤ −2. Das Ungleichheitszeichen dreht sich so oder so um.

Wenn keine gleiche Basis möglich ist

Bei der Ungleichung 3^x < 5 können wir die Fünf nicht als Potenz von drei mit ganzzahligem Exponenten schreiben. Wir helfen uns wie bei Gleichungen: Wir logarithmieren beide Seiten, diesmal mit dem Logarithmus zur Basis drei. Der ist streng monoton steigend, das Ungleichheitszeichen ändert sich also nicht: log₃ 3^x < log₃ 5, also x < log₃ 5. Das Ergebnis lassen wir ruhig so stehen. Die ungefähre Lage der Zahl verrät die Ungleichung 3 < 5 < 9: log₃ 5 liegt zwischen log₃ 3 = 1 und log₃ 9 = 2.

Logarithmusungleichungen

Bei Logarithmusungleichungen gilt dieselbe Regel für die Basis, und es kommt eine Bedingung dazu, die wir von den Logarithmusgleichungen kennen: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein. Probieren wir es an der Ungleichung

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Zuerst die Bedingung: x − 1>0, also x>1. Dann schreiben wir die Drei als Logarithmus zur Basis zwei, denn 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Die Basis zwei ist größer als eins, der Logarithmus ist streng monoton steigend, und das Ungleichheitszeichen bleibt:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Zum Schluss verbinden wir das Ergebnis mit der Bedingung. Es muss x>1 und zugleich x<9 gelten, die Lösung ist also das Intervall ]1; 9[. Zur Kontrolle nehmen wir x = 5: log₂ 4 = 2, und das ist tatsächlich weniger als drei.

In der Abbildung sieht man die Lösung: Der rote Graph liegt für alle x von eins bis neun unter der grünen Geraden. Links von der Eins gibt es gar keinen Graphen, weil der Logarithmus dort nicht existiert. Das ist die Bedingung x>1.

Hier passiert der Fehler anders als bei Exponentialungleichungen. Wer die Bedingung vergisst, schreibt als Ergebnis x<9. Dazu gehört aber auch null, und log₂(0 − 1) = log₂(−1) existiert nicht. Bei einer Gleichung würde die vergessene Bedingung durch die Probe auffallen, bei einer Ungleichung kommen aber unendlich viele Zahlen heraus, und wir können nicht alle einsetzen. Die Bedingung schreiben wir deshalb immer gleich am Anfang hin.

Im letzten Beispiel treffen beide Fallen aufeinander:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Die Bedingung lautet x>0. Die Zwei schreiben wir als Logarithmus zur Basis ein Halb, denn ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Die Basis ist kleiner als eins, das Ungleichheitszeichen dreht sich also zum zweiten Mal um:

$$x<\frac{1}{4}$$

Mit der Bedingung x>0 erhalten wir die Lösung $]0;\frac{1}{4}[$. Wir prüfen zum Beispiel $x=\frac{1}{8}$: Ein Halb hoch drei ist ein Achtel, also ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, und das ist wirklich mehr als zwei.