Disequazioni esponenziali e logaritmiche

Una disequazione esponenziale è un’equazione esponenziale in cui al posto del segno di uguale c’è un segno di disuguaglianza. Per esempio questa:

$$2^x>8$$

Il procedimento comincia come per l’equazione. Scriviamo l’otto come potenza di due:

$$2^x>2^3$$

Per l’equazione 2^x = 2³ ora confronteremmo gli esponenti e otterremmo x = 3. Perché possiamo farlo? La funzione 2^x è crescente: più grande è l’esponente, più grande è la potenza. Nessun valore viene quindi assunto due volte e due potenze di due sono uguali solo quando hanno lo stesso esponente. Lo stesso ragionamento ci aiuta anche nella disequazione, solo che dobbiamo in più decidere in quale verso. Due elevato a qualcosa è maggiore di due alla terza se e solo se quel qualcosa è maggiore di tre:

$$x>3$$

La soluzione è l’intervallo (3; +∞). Torna: 2⁴ = 16 è più di otto, ma 2² = 4 no. Nella figura è la parte dell’asse x sopra la quale il grafico rosso sta più in alto della retta verde.

Diversamente va a finire una disequazione con base minore di uno, per esempio ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. La funzione ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ è decrescente: più grande è l’esponente, più volte moltiplichiamo per un mezzo e più piccolo diventa il numero. Nella figura è in blu:

Supera la retta y = 8 solo a sinistra di −3, quindi la disequazione ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ ha come soluzione x < −3. Il verso si è invertito. Tutta la magia delle disequazioni esponenziali sta in questa regola:

• base maggiore di uno: la funzione è crescente e il verso della disuguaglianza resta,
• base tra zero e uno: la funzione è decrescente e il verso si inverte.

Base minore di uno

Affrontiamo la disequazione

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Dobbiamo scrivere il nove come potenza di un terzo. Un terzo alla meno uno dà tre, un terzo alla meno due dà nove:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Le basi coincidono, ma la base $\frac{1}{3}$ è minore di uno. Confrontiamo quindi gli esponenti e invertiamo il verso:

$$x\le -2$$

La soluzione è l’intervallo (−∞; −2]. Verifichiamo con x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, che è davvero più di nove.

L’errore più frequente in questi esercizi è questo: non ho invertito il verso. Chi scrive x ≥ −2 accetterebbe per esempio lo zero. Ma ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ e uno è minore di nove.

Se non ti trovi bene con le frazioni nella base, puoi riscrivere $\frac{1}{3}$ come 3⁻¹. La disequazione diventa allora 3^−x ≥ 3², cioè −x ≥ 2. Questa volta la base è maggiore di uno e il verso resta, ma dividendo per meno uno si inverte, secondo le regole per trasformare le disequazioni. Otteniamo di nuovo x ≤ −2. Il verso si inverte in ogni caso.

Quando non si riesce a ottenere la stessa base

Nella disequazione 3^x < 5 non possiamo scrivere il cinque come potenza di tre con esponente intero. Ce la caviamo come per le equazioni: applichiamo a entrambi i membri il logaritmo, questa volta in base tre. È crescente, quindi il verso non cambia: log₃ 3^x < log₃ 5, cioè x < log₃ 5. Il risultato lo lasciamo pure così. La posizione approssimativa del numero la rivela la disuguaglianza 3 < 5 < 9, per cui log₃ 5 sta tra log₃ 3 = 1 e log₃ 9 = 2.

Disequazioni logaritmiche

Nelle disequazioni logaritmiche vale la stessa regola sulla base e si aggiunge una condizione che conosciamo dalle equazioni logaritmiche: l’argomento del logaritmo deve essere positivo. Proviamo con la disequazione

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Prima la condizione: x − 1>0, cioè x>1. Poi scriviamo il tre come logaritmo in base due, perché 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

La base due è maggiore di uno, il logaritmo è crescente e il verso resta:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Alla fine mettiamo a sistema il risultato con la condizione. Deve valere x>1 e allo stesso tempo x<9, quindi la soluzione è l’intervallo (1; 9). Per controllo prendiamo x = 5: log₂ 4 = 2, che è davvero meno di tre.

Nella figura la soluzione si vede: il grafico rosso sta sotto la retta verde per tutte le x da uno a nove. A sinistra di uno il grafico non c’è proprio, perché lì il logaritmo non esiste. È la condizione x>1.

Qui si sbaglia in un altro modo rispetto alle disequazioni esponenziali. Chi dimentica la condizione scrive il risultato x<9. Ma ne farebbe parte anche lo zero, e log₂(0 − 1) = log₂(−1) non esiste. Nell’equazione la condizione dimenticata la rivelerebbe la verifica, ma una disequazione ha infinite soluzioni e non si possono sostituire tutte. La condizione perciò la scriviamo sempre subito all’inizio.

Nell’ultimo esempio si incontrano entrambe le trappole:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

La condizione è x>0. Scriviamo il due come logaritmo in base un mezzo, perché ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

La base è minore di uno, quindi il verso si inverte per la seconda volta:

$$x<\frac{1}{4}$$

Con la condizione x>0 otteniamo la soluzione $(0;\frac{1}{4})$. Verifichiamo per esempio con $x=\frac{1}{8}$: un mezzo alla terza è un ottavo, quindi ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, e questo è davvero più di due.