Eksponentielle og logaritmiske uligheder

En eksponentiel ulighed er en eksponentialligning, hvor der i stedet for lighedstegnet står et ulighedstegn. For eksempel denne:

$$2^x>8$$

Fremgangsmåden begynder på samme måde som ved en ligning. Vi skriver otte som en potens af to:

$$2^x>2^3$$

Ved ligningen 2^x = 2³ ville vi nu sammenligne eksponenterne og få x = 3. Hvorfor må vi det? Funktionen 2^x er strengt voksende: jo større eksponent, desto større potens. Den antager derfor ingen værdi to gange, og to potenser af to er kun ens, når de har samme eksponent. Den samme overvejelse hjælper os også ved uligheden, vi skal blot desuden afgøre, i hvilken retning. To opløftet i noget er større end to opløftet i tredje, netop når dette noget er større end tre:

$$x>3$$

Løsningen er intervallet ]3; ∞[. Det passer: 2⁴ = 16 er mere end otte, men 2² = 4 er det ikke. På figuren er det den del af x-aksen, hvor den røde graf ligger over den grønne linje.

Det går anderledes med en ulighed med et grundtal mindre end én, for eksempel ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Funktionen ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ er strengt aftagende: jo større eksponent, desto flere gange ganger vi med en halv, og desto mindre bliver tallet. På figuren er den blå:

Kun til venstre for −3 stiger grafen op over linjen y = 8, så uligheden ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ har løsningen x < −3. Ulighedstegnet vendte. Hele tricket ved eksponentielle uligheder ligger i denne regel:

• grundtal større end én: funktionen er strengt voksende, og ulighedstegnet bevares,
• grundtal mellem nul og én: funktionen er strengt aftagende, og ulighedstegnet vender.

Grundtal mindre end én

Vi tager fat på uligheden

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Ni skal vi skrive som en potens af en tredjedel. En tredjedel opløftet i minus første giver tre, en tredjedel opløftet i minus anden giver ni:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Grundtallene er ens, men grundtallet $\frac{1}{3}$ er mindre end én. Vi sammenligner derfor eksponenterne og vender ulighedstegnet:

$$x\le -2$$

Løsningen er intervallet ]−∞; −2]. Vi tjekker med x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, og det er virkelig mere end ni.

Den hyppigste fejl i disse opgaver lyder: jeg vendte ikke ulighedstegnet. Skriver man x ≥ −2, ville for eksempel nul opfylde uligheden. Men ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, og én er mindre end ni.

Hvis du ikke bryder dig om at regne med brøker i grundtallet, kan du omskrive $\frac{1}{3}$ til 3⁻¹. Uligheden lyder så 3^−x ≥ 3², altså −x ≥ 2. Grundtallet er denne gang større end én, og ulighedstegnet bevares, men ved division med minus ét vender det efter reglerne for omformning af uligheder. Der kommer igen x ≤ −2. Ulighedstegnet vender under alle omstændigheder.

Når grundtallene ikke kan gøres ens

I uligheden 3^x < 5 kan vi ikke skrive fem som en potens af tre med en heltallig eksponent. Vi klarer det på samme måde som ved ligninger: vi tager logaritmen på begge sider, denne gang med grundtal tre. Den er strengt voksende, så ulighedstegnet ændrer sig ikke: log₃ 3^x < log₃ 5, altså x < log₃ 5. Resultatet lader vi roligt stå. Tallets omtrentlige placering afslører uligheden 3 < 5 < 9, så log₃ 5 ligger mellem log₃ 3 = 1 og log₃ 9 = 2.

Logaritmiske uligheder

Ved logaritmiske uligheder gælder den samme regel om grundtallet, og der kommer én betingelse til, som vi kender fra logaritmiske ligninger: logaritmens argument skal være positivt. Vi prøver det på uligheden

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Først betingelsen: x − 1>0, altså x>1. Derefter skriver vi tre som en logaritme med grundtal to, fordi 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Grundtallet to er større end én, logaritmen er strengt voksende, og ulighedstegnet bevares:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Til sidst sætter vi resultatet sammen med betingelsen. Der skal gælde x>1 og samtidig x<9, så løsningen er intervallet ]1; 9[. Til kontrol tager vi x = 5: log₂ 4 = 2, og det er virkelig mindre end tre.

På figuren kan du se løsningen: den røde graf ligger under den grønne linje for alle x fra én til ni. Til venstre for én findes grafen slet ikke, fordi logaritmen ikke eksisterer der. Det er betingelsen x>1.

Her begår man en anden fejl end ved eksponentielle uligheder. Glemmer man betingelsen, skriver man resultatet x<9. Men dertil hører også nul, og log₂(0 − 1) = log₂(−1) eksisterer ikke. Ved en ligning ville en glemt betingelse blive afsløret af prøven, men ved en ulighed kommer der uendeligt mange tal ud, og man kan ikke indsætte dem alle. Betingelsen skriver vi derfor altid lige i begyndelsen.

I det sidste eksempel mødes begge fælder:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Betingelsen er x>0. To skriver vi som en logaritme med grundtal en halv, fordi ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Grundtallet er mindre end én, så ulighedstegnet vender for anden gang:

$$x<\frac{1}{4}$$

Med betingelsen x>0 får vi løsningen $]0;\frac{1}{4}[$. Vi tjekker for eksempel $x=\frac{1}{8}$: en halv opløftet i tredje er en ottendedel, så ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, og det er faktisk mere end to.