Inecuații exponențiale și logaritmice

O inecuație exponențială este o ecuație exponențială în care, în loc de semnul egal, apare un semn de inegalitate. De exemplu, aceasta:

$$2^x>8$$

Rezolvarea începe la fel ca la ecuație. Scriem opt ca putere a lui doi:

$$2^x>2^3$$

La ecuația 2^x = 2³ am compara acum exponenții și ar ieși x = 3. De ce avem voie? Funcția 2^x este strict crescătoare: cu cât exponentul este mai mare, cu atât puterea este mai mare. De aceea nu ia niciodată aceeași valoare de două ori, iar două puteri ale lui doi sunt egale doar dacă au același exponent. Același raționament ne ajută și la inecuație, doar că trebuie să hotărâm în plus în ce sens. Doi la o putere oarecare este mai mare decât doi la a treia dacă și numai dacă acel exponent este mai mare decât trei:

$$x>3$$

Soluția este intervalul (3, +∞). Se potrivește: 2⁴ = 16 este mai mult decât opt, dar 2² = 4 nu. În figură, este partea axei x deasupra căreia graficul roșu se află mai sus decât dreapta verde.

Altfel iese o inecuație cu baza mai mică decât unu, de exemplu ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Funcția ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ este descrescătoare: cu cât exponentul este mai mare, cu atât înmulțim de mai multe ori cu o doime și cu atât iese un număr mai mic. În figură este albastră:

Deasupra dreptei y = 8 se ridică doar la stânga lui −3, deci inecuația ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ are soluția x < −3. Sensul inegalității s-a schimbat. Toată magia inecuațiilor exponențiale stă în această regulă:

• baza mai mare decât unu: funcția este strict crescătoare și sensul inegalității se păstrează,
• baza cuprinsă între zero și unu: funcția este strict descrescătoare și sensul inegalității se schimbă.

Baza mai mică decât unu

Să trecem la inecuația

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Trebuie să scriem nouă ca putere a unei treimi. O treime la puterea minus unu dă trei, o treime la puterea minus doi dă nouă:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Bazele coincid, dar baza $\frac{1}{3}$ este mai mică decât unu. Comparăm deci exponenții și schimbăm sensul inegalității:

$$x\le -2$$

Soluția este intervalul (−∞, −2]. Verificăm pentru x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, ceea ce este într-adevăr mai mult decât nouă.

Cea mai frecventă greșeală la aceste exemple sună așa: nu am schimbat sensul inegalității. Cine scrie x ≥ −2 ar accepta, de exemplu, și zero. Dar ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, iar unu este mai mic decât nouă.

Dacă nu-ți place să lucrezi cu fracții la bază, poți rescrie $\frac{1}{3}$ ca 3⁻¹. Inecuația devine atunci 3^−x ≥ 3², adică −x ≥ 2. De data aceasta baza este mai mare decât unu și sensul se păstrează, dar la împărțirea cu minus unu se schimbă, conform regulilor de transformare a inecuațiilor. Iese din nou x ≤ −2. Sensul inegalității se schimbă oricum.

Când nu iese aceeași bază

În inecuația 3^x < 5 nu putem scrie cinci ca putere a lui trei cu exponent întreg. Procedăm la fel ca la ecuații: logaritmăm ambii membri, de data aceasta în baza trei. Logaritmul este strict crescător, deci sensul nu se schimbă: log₃ 3^x < log₃ 5, adică x < log₃ 5. Rezultatul îl lăsăm liniștiți așa. Poziția aproximativă a numărului o arată inegalitatea 3 < 5 < 9, deci log₃ 5 se află între log₃ 3 = 1 și log₃ 9 = 2.

Inecuații logaritmice

La inecuațiile logaritmice se aplică aceeași regulă despre bază și apare o condiție în plus, pe care o cunoaștem de la ecuațiile logaritmice: argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv. Să încercăm pe inecuația

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Mai întâi condiția de existență: x − 1>0, adică x>1. Apoi scriem trei ca logaritm în baza doi, pentru că 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Baza doi este mai mare decât unu, logaritmul este strict crescător și sensul se păstrează:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

La final combinăm rezultatul cu condiția. Trebuie să fie x>1 și totodată x<9, deci soluția este intervalul (1, 9). Pentru verificare luăm x = 5: log₂ 4 = 2, ceea ce este într-adevăr mai puțin decât trei.

În figură se vede soluția: graficul roșu este sub dreapta verde pentru toți x de la unu la nouă. La stânga lui unu graficul nu există deloc, pentru că acolo logaritmul nu există. Aceasta este condiția x>1.

Aici se greșește altfel decât la inecuațiile exponențiale. Cine uită condiția scrie rezultatul x<9. Numai că aici intră și zero, iar log₂(0 − 1) = log₂(−1) nu există. La o ecuație, condiția uitată ar fi trădată de verificare, dar la o inecuație ies infinit de multe numere și nu le putem înlocui pe toate. De aceea scriem condiția întotdeauna chiar de la început.

În ultimul exemplu se întâlnesc ambele capcane:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Condiția este x>0. Scriem doi ca logaritm în baza o doime, pentru că ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Baza este mai mică decât unu, deci sensul inegalității se schimbă a doua oară:

$$x<\frac{1}{4}$$

Cu condiția x>0 obținem soluția $(0,\frac{1}{4})$. Verificăm, de exemplu, $x=\frac{1}{8}$: o doime la puterea a treia este o optime, deci ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, ceea ce este într-adevăr mai mult decât doi.