Exponentiële en logaritmische ongelijkheden

Een exponentiële ongelijkheid is een exponentiële vergelijking waarin in plaats van het gelijkteken een ongelijkheidsteken staat. Bijvoorbeeld deze:

$$2^x>8$$

De werkwijze begint hetzelfde als bij een vergelijking. De acht schrijven we als een macht van twee:

$$2^x>2^3$$

Bij de vergelijking 2^x = 2³ zouden we nu de exponenten vergelijken en zouden we x = 3 krijgen. Waarom mogen we dat? De functie 2^x is strikt stijgend: hoe groter de exponent, hoe groter de macht. Ze neemt dus geen enkele waarde twee keer aan en twee machten van twee zijn alleen gelijk als ze dezelfde exponent hebben. Dezelfde redenering helpt ons ook bij de ongelijkheid, alleen moeten we er ook nog bij bepalen in welke richting. Twee tot een of andere macht is groter dan twee tot de derde precies als die exponent groter is dan drie:

$$x>3$$

De oplossing is het interval ⟨3, → ⟩. Dat klopt: 2⁴ = 16 is meer dan acht, maar 2² = 4 niet. Op de figuur is het dat deel van de x-as waarboven de rode grafiek hoger ligt dan de groene lijn.

Anders gaat het bij een ongelijkheid met een grondtal kleiner dan één, bijvoorbeeld ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. De functie ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ is strikt dalend: hoe groter de exponent, hoe vaker we met een half vermenigvuldigen en hoe kleiner het getal wordt. Op de figuur is ze blauw:

Boven de lijn y = 8 komt hij alleen links van −3, dus de ongelijkheid ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ heeft de oplossing x < −3. Het teken is omgedraaid. De hele truc van exponentiële ongelijkheden zit in deze regel:

• grondtal groter dan één: de functie is stijgend en het ongelijkheidsteken blijft,
• grondtal tussen nul en één: de functie is dalend en het ongelijkheidsteken draait om.

Grondtal kleiner dan één

We gaan aan de slag met de ongelijkheid

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

De negen moeten we schrijven als een macht van een derde. Een derde tot de macht min één geeft drie, een derde tot de macht min twee geeft negen:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

De grondtallen zijn gelijk, maar het grondtal $\frac{1}{3}$ is kleiner dan één. We vergelijken dus de exponenten en draaien het teken om:

$$x\le -2$$

De oplossing is het interval ⟨ ← , −2]. We controleren met x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, en dat is inderdaad meer dan negen.

De meest gemaakte fout bij deze voorbeelden luidt: ik heb het teken niet omgedraaid. Wie x ≥ −2 opschrijft, laat bijvoorbeeld ook nul toe. Maar ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ en één is kleiner dan negen.

Als je moeite hebt met breuken in het grondtal, kun je $\frac{1}{3}$ herschrijven als 3⁻¹. De ongelijkheid luidt dan 3^−x ≥ 3², dus −x ≥ 2. Het grondtal is nu groter dan één en het teken blijft, maar bij het delen door min één draait het om volgens de regels voor het herleiden van ongelijkheden. We krijgen weer x ≤ −2. Het teken draait hoe dan ook om.

Als er geen gelijk grondtal te vinden is

In de ongelijkheid 3^x < 5 kunnen we de vijf niet als een macht van drie met een gehele exponent schrijven. We redden ons net als bij vergelijkingen: we nemen aan beide kanten de logaritme, nu met grondtal drie. Die is stijgend, het teken verandert dus niet: {}³log 3^x < {}³log 5, dus x < {}³log 5. Het resultaat laten we gerust zo staan. Waar het getal ongeveer ligt, verraadt de ongelijkheid 3 < 5 < 9: dus {}³log 5 ligt tussen {}³log 3 = 1 en {}³log 9 = 2.

Logaritmische ongelijkheden

Voor logaritmische ongelijkheden geldt dezelfde regel over het grondtal en er komt één voorwaarde bij, die we kennen van logaritmische vergelijkingen: het argument van de logaritme moet positief zijn. We proberen het met de ongelijkheid

$${}^2\log (x-1)<3.$$

Eerst de voorwaarde: x − 1>0, dus x>1. Dan schrijven we de drie als een logaritme met grondtal twee, want 2³ = 8:

$${}^2\log (x-1)<{}^2\log 8$$

Het grondtal twee is groter dan één, de logaritme is stijgend en het teken blijft:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Tot slot combineren we de oplossing met de voorwaarde. Er moet gelden x>1 en tegelijk x<9, dus de oplossing is het interval ⟨1, 9⟩. Ter controle nemen we x = 5: {}²log 4 = 2, en dat is inderdaad minder dan drie.

Op de figuur is de oplossing te zien: de rode grafiek ligt onder de groene lijn voor alle x van één tot negen. Links van de één is er helemaal geen grafiek, omdat de logaritme daar niet bestaat. Dat is de voorwaarde x>1.

Hier maak je een andere fout dan bij exponentiële ongelijkheden. Wie de voorwaarde vergeet, schrijft de oplossing x<9 op. Daar hoort dan ook nul bij en {}²log(0 − 1) = {}²log(−1) bestaat niet. Bij een vergelijking zou een vergeten voorwaarde door de controle aan het licht komen, maar bij een ongelijkheid komen er oneindig veel getallen uit en die kun je niet allemaal invullen. De voorwaarde schrijven we daarom altijd meteen aan het begin op.

In het laatste voorbeeld komen beide valkuilen samen:

$${}^{\frac{1}{2}}\log x>2$$

De voorwaarde is x>0. De twee schrijven we als een logaritme met grondtal een half, want ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${}^{\frac{1}{2}}\log x>{}^{\frac{1}{2}}\log \frac{1}{4}$$

Het grondtal is kleiner dan één, het teken draait dus voor de tweede keer om:

$$x<\frac{1}{4}$$

Met de voorwaarde x>0 krijgen we de oplossing $⟨0,\frac{1}{4}⟩$. We controleren bijvoorbeeld $x=\frac{1}{8}$: een half tot de derde is een achtste, dus ${}^{\frac{1}{2}}\log \frac{1}{8}=3$, en dat is echt meer dan twee.