Показникові та логарифмічні нерівності

Показникова нерівність — це показникове рівняння, у якому замість знака рівності стоїть знак нерівності. Наприклад, така:

$$2^x>8$$

Розв'язування починається так само, як у рівняння. Вісімку записуємо як степінь двійки:

$$2^x>2^3$$

У рівнянні 2^x = 2³ ми б тепер порівняли показники й вийшло б x = 3. Чому так можна? Функція 2^x зростає: чим більший показник, тим більший степінь. Тому жодного значення вона не набуває двічі, і два степені двійки рівні лише тоді, коли мають однаковий показник. Те саме міркування допоможе й у нерівності, тільки ще треба вирішити, в який бік. Двійка в якомусь степені більша за двійку в третьому степені тоді й лише тоді, коли цей показник більший за три:

$$x>3$$

Розв'язком є проміжок (3; +∞). Усе сходиться: 2⁴ = 16 більше за вісім, а 2² = 4 — уже ні. На рисунку це та частина осі x, над якою червоний графік лежить вище за зелену пряму.

Інакше виходить нерівність з основою, меншою за одиницю, наприклад ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Функція ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ спадна: чим більший показник, тим більше разів множимо на одну другу й тим менше число виходить. На рисунку вона синя:

Над прямою y = 8 вона здіймається лише ліворуч від −3, тож нерівність ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ має розв'язок x < −3. Знак змінився на протилежний. Уся магія показникових нерівностей полягає в такому правилі:

• основа більша за одиницю: функція зростаюча, і знак нерівності зберігається,
• основа між нулем і одиницею: функція спадна, і знак змінюється на протилежний.

Основа менша за одиницю

Візьмімося до нерівності

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Дев'ятку треба записати як степінь однієї третьої. Одна третя в мінус першому степені дає три, одна третя в мінус другому — дев'ять:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Основи однакові, але основа $\frac{1}{3}$ менша за одиницю. Тож порівнюємо показники й змінюємо знак на протилежний:

$$x\le -2$$

Розв'язком є проміжок (−∞; −2]. Перевіримо для x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, а це справді більше за дев'ять.

Найпоширеніша помилка в таких прикладах — не змінити знак. Хто напише x ≥ −2, тому підійшов би, наприклад, нуль. Але ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, а одиниця менша за дев'ять.

Якщо тобі незручно працювати з дробами в основі, можеш переписати $\frac{1}{3}$ як 3⁻¹. Нерівність тоді має вигляд 3^−x ≥ 3², тобто −x ≥ 2. Основа цього разу більша за одиницю, і знак зберігається, але при діленні на мінус одиницю він змінюється за правилами перетворення нерівностей. Знову виходить x ≤ −2. Знак змінюється на протилежний так чи інакше.

Коли не виходить однакова основа

У нерівності 3^x < 5 п'ятірку як степінь трійки з цілим показником не запишемо. Дамо собі раду так само, як у рівняннях: обидві частини логарифмуємо, цього разу за основою три. Логарифм зростає, тож знак не змінюється: log₃ 3^x < log₃ 5, тобто x < log₃ 5. Результат спокійно залишаємо в такому вигляді. Приблизне розташування цього числа підкаже нерівність 3 < 5 < 9, отже, log₃ 5 лежить між log₃ 3 = 1 і log₃ 9 = 2.

Логарифмічні нерівності

Для логарифмічних нерівностей діє те саме правило про основу, і додається одна умова, знайома нам із логарифмічних рівнянь: аргумент логарифма має бути додатним. Спробуймо на нерівності

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Спершу умова: x − 1>0, тобто x>1. Потім трійку записуємо як логарифм з основою два, адже 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Основа два більша за одиницю, логарифм зростає, і знак зберігається:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Наприкінці об'єднуємо результат з умовою. Має виконуватися x>1 і водночас x<9, тому розв'язком є проміжок (1; 9). Для перевірки беремо x = 5: log₂ 4 = 2, а це справді менше за три.

На рисунку видно розв'язок: червоний графік лежить під зеленою прямою для всіх x від одиниці до дев'яти. Ліворуч від одиниці графіка взагалі немає, бо там логарифм не існує. Це і є умова x>1.

Тут помиляються інакше, ніж у показникових нерівностях. Хто забуде про умову, запише результат x<9. Але до нього належить і нуль, а log₂(0 − 1) = log₂(−1) не існує. У рівнянні забуту умову виявила б перевірка, проте в нерівності виходить нескінченно багато чисел, і підставити всі неможливо. Тому умову записуємо завжди одразу на початку.

В останньому прикладі зустрічаються обидві пастки:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Умова: x>0. Двійку записуємо як логарифм з основою одна друга, адже ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Основа менша за одиницю, тож знак змінюється на протилежний удруге:

$$x<\frac{1}{4}$$

З умовою x>0 отримуємо розв'язок $(0;\frac{1}{4})$. Перевіримо, скажімо, $x=\frac{1}{8}$: одна друга в третьому степені — це одна восьма, отже, ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, а це справді більше за два.