Exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek

Az exponenciális egyenlőtlenség olyan exponenciális egyenlet, amelyben az egyenlőségjel helyett relációs jel áll. Például ez:

$$2^x>8$$

Az eljárás ugyanúgy indul, mint az egyenletnél. A nyolcat felírjuk a kettő hatványaként:

$$2^x>2^3$$

A 2^x = 2³ egyenletnél most összehasonlítanánk a kitevőket, és x = 3 jönne ki. Miért tehetjük ezt meg? A 2^x függvény szigorúan monoton növekvő: minél nagyobb a kitevő, annál nagyobb a hatvány. Ezért egyetlen értéket sem vesz fel kétszer, és a kettő két hatványa csak akkor egyenlő, ha a kitevőjük is egyenlő. Ugyanez a gondolat segít az egyenlőtlenségnél is, csak azt is el kell döntenünk, melyik irányba. A kettő valamilyen hatványa akkor és csak akkor nagyobb a kettő harmadik hatványánál, ha a kitevő nagyobb háromnál:

$$x>3$$

A megoldás a ]3; +∞[ intervallum. Ez stimmel: 2⁴ = 16 több nyolcnál, de 2² = 4 már nem. Az ábrán ez az x tengelynek az a része, amely fölött a piros grafikon magasabban fut, mint a zöld egyenes.

Másképp alakul az olyan egyenlőtlenség, amelyben az alap egynél kisebb, például ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Az ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ függvény szigorúan monoton csökkenő: minél nagyobb a kitevő, annál többször szorzunk egy féllel, és annál kisebb szám jön ki. Az ábrán kékkel látható:

Az y = 8 egyenes fölé csak −3-tól balra emelkedik, így a ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ egyenlőtlenség megoldása x < −3. A relációs jel megfordult. Az exponenciális egyenlőtlenségek egész titka ebben a szabályban rejlik:

• az alap egynél nagyobb: a függvény szigorúan monoton növekvő, és a relációs jel marad,
• az alap nulla és egy között van: a függvény szigorúan monoton csökkenő, és a relációs jel megfordul.

Egynél kisebb alap

Lássuk az

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9$$

egyenlőtlenséget. A kilencet fel kell írnunk az egyharmad hatványaként. Az egyharmad mínusz első hatványa három, mínusz második hatványa kilenc:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Az alapok megegyeznek, csakhogy az $\frac{1}{3}$ alap egynél kisebb. A kitevőket tehát összehasonlítjuk, és a relációs jelet megfordítjuk:

$$x\le -2$$

A megoldás a ]−∞; −2] intervallum. Ellenőrizzük az x = −3 értékre: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, ami valóban több kilencnél.

A leggyakoribb hiba ezeknél a feladatoknál így hangzik: nem fordítottam meg a relációs jelet. Aki azt írja, hogy x ≥ −2, annak például a nulla is megfelelne. Csakhogy ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, az egy pedig kisebb kilencnél.

Ha nehezen megy a törtekkel az alapban, az $\frac{1}{3}$-ot átírhatod 3⁻¹-re. Az egyenlőtlenség ekkor 3^−x ≥ 3², azaz −x ≥ 2. Az alap ezúttal egynél nagyobb, és a relációs jel marad, csakhogy mínusz eggyel osztva megfordul az egyenlőtlenségek átalakításának szabályai szerint. Ismét x ≤ −2 jön ki. A relációs jel így is, úgy is megfordul.

Ha nincs azonos alap

A 3^x < 5 egyenlőtlenségben az ötöt nem tudjuk a három egész kitevős hatványaként felírni. Úgy járunk el, mint az egyenleteknél: mindkét oldalt logaritmáljuk, ezúttal hármas alapú logaritmussal. Ez szigorúan monoton növekvő, a relációs jel tehát nem változik: log₃ 3^x < log₃ 5, azaz x < log₃ 5. Az eredményt nyugodtan hagyjuk így. A szám hozzávetőleges helyét a 3 < 5 < 9 egyenlőtlenség árulja el, így a log₃ 5 a log₃ 3 = 1 és a log₃ 9 = 2 között van.

Logaritmikus egyenlőtlenségek

A logaritmikus egyenlőtlenségeknél ugyanaz az alapra vonatkozó szabály érvényes, és egy feltétel is hozzájön, amelyet a logaritmikus egyenletekből ismerünk: a logaritmus argumentumának pozitívnak kell lennie. Próbáljuk ki az

$${\log }_2(x-1)<3$$

egyenlőtlenségen. Először a kikötés: x − 1>0, azaz x>1. Aztán a hármat felírjuk kettes alapú logaritmusként, mert 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

A kettes alap egynél nagyobb, a logaritmus szigorúan monoton növekvő, és a relációs jel marad:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Végül az eredményt egyesítjük a kikötéssel. Egyszerre kell teljesülnie az x>1 és az x<9 feltételnek, így a megoldás a ]1; 9[ intervallum. Ellenőrzésként vegyük az x = 5 értéket: log₂ 4 = 2, ami valóban kevesebb háromnál.

Az ábrán látszik a megoldás: a piros grafikon egytől kilencig minden x-re a zöld egyenes alatt van. Egytől balra egyáltalán nincs grafikon, mert ott a logaritmus nem létezik. Ez az x>1 kikötés.

Itt másképp hibázunk, mint az exponenciális egyenlőtlenségeknél. Aki megfeledkezik a kikötésről, az x<9 eredményt írja. Ebbe viszont a nulla is beletartozik, és a log₂(0 − 1) = log₂(−1) nem létezik. Egyenletnél a kihagyott kikötést elárulná az ellenőrzés, egyenlőtlenségnél azonban végtelen sok szám jön ki, és mindet behelyettesíteni nem lehet. A kikötést ezért mindig rögtön az elején felírjuk.

Az utolsó példában mindkét csapda találkozik:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

A kikötés x>0. A kettest felírjuk egyketted alapú logaritmusként, mert ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Az alap egynél kisebb, a relációs jel tehát másodszor is megfordul:

$$x<\frac{1}{4}$$

Az x>0 kikötéssel a megoldás $]0;\frac{1}{4}[$. Ellenőrizzük például az $x=\frac{1}{8}$ értékre: az egyketted harmadik hatványa egynyolcad, így ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, és ez tényleg több kettőnél.