Eksponential- og logaritmeulikheter

En eksponentialulikhet er en eksponentiallikning der det står et ulikhetstegn i stedet for likhetstegnet. For eksempel denne:

$$2^x>8$$

Framgangsmåten begynner som for en likning. Åtte skriver vi som en potens av to:

$$2^x>2^3$$

For likningen 2^x = 2³ ville vi nå sammenlignet eksponentene og fått x = 3. Hvorfor kan vi det? Funksjonen 2^x er strengt voksende: Jo større eksponent, desto større potens. Den tar derfor ingen verdi to ganger, og to potenser av to er lik hverandre bare når de har samme eksponent. Den samme tankegangen hjelper oss også med ulikheten, vi må bare i tillegg avgjøre i hvilken retning. To opphøyd i noe er større enn to opphøyd i tredje akkurat når dette noe er større enn tre:

$$x>3$$

Løsningen er intervallet ⟨3, → ⟩. Det stemmer: 2⁴ = 16 er mer enn åtte, men 2² = 4 er ikke det. På bildet er det den delen av x-aksen der den røde grafen ligger høyere enn den grønne linjen.

Annerledes går det med en ulikhet med grunntall mindre enn én, for eksempel ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Funksjonen ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ er strengt avtagende: Jo større eksponent, desto flere ganger ganger vi med en halv, og desto mindre tall får vi. På bildet er den blå:

Over linjen y = 8 kommer den bare til venstre for −3, så ulikheten ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ har løsningen x < −3. Ulikhetstegnet snudde seg. Hele trikset med eksponentialulikheter ligger i denne regelen:

• grunntall større enn én: funksjonen er strengt voksende, og ulikhetstegnet blir stående,
• grunntall mellom null og én: funksjonen er strengt avtagende, og ulikhetstegnet snur seg.

Grunntall mindre enn én

Vi tar fatt på ulikheten

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Ni må vi skrive som en potens av en tredjedel. En tredjedel opphøyd i minus én gir tre, en tredjedel opphøyd i minus to gir ni:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Grunntallene er like, men grunntallet $\frac{1}{3}$ er mindre enn én. Vi sammenligner altså eksponentene og snur ulikhetstegnet:

$$x\le -2$$

Løsningen er intervallet ⟨ ← , −2]. Vi kontrollerer med x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, og det er virkelig mer enn ni.

Den vanligste feilen i slike oppgaver lyder: jeg snudde ikke ulikhetstegnet. Den som skriver x ≥ −2, ville fått null som en løsning. Men ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$, og én er mindre enn ni.

Hvis du ikke liker å arbeide med brøker i grunntallet, kan du skrive om $\frac{1}{3}$ til 3⁻¹. Ulikheten blir da 3^−x ≥ 3², altså −x ≥ 2. Grunntallet er denne gangen større enn én, og ulikhetstegnet blir stående, men ved divisjon med minus én snur det seg etter reglene for omforming av ulikheter. Vi får igjen x ≤ −2. Ulikhetstegnet snur seg uansett.

Når vi ikke kan få samme grunntall

I ulikheten 3^x < 5 kan vi ikke skrive fem som en potens av tre med et helt tall som eksponent. Vi klarer oss på samme måte som ved likninger: Vi tar logaritmen på begge sider, denne gangen med grunntall tre. Den er strengt voksende, så ulikhetstegnet endrer seg ikke: log₃ 3^x < log₃ 5, altså x < log₃ 5. Resultatet kan vi trygt la stå. Den omtrentlige plasseringen av tallet avsløres av ulikheten 3 < 5 < 9, så log₃ 5 ligger mellom log₃ 3 = 1 og log₃ 9 = 2.

Logaritmeulikheter

For logaritmeulikheter gjelder den samme regelen om grunntallet, og det kommer til én forutsetning som vi kjenner fra logaritmelikninger: Argumentet til logaritmen må være positivt. La oss prøve på ulikheten

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Først forutsetningen: x − 1>0, altså x>1. Så skriver vi tre som en logaritme med grunntall to, siden 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Grunntallet to er større enn én, logaritmen er strengt voksende, og ulikhetstegnet blir stående:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Til slutt kombinerer vi resultatet med forutsetningen. Det må gjelde x>1 og samtidig x<9, så løsningen er intervallet ⟨1, 9⟩. Som kontroll tar vi x = 5: log₂ 4 = 2, og det er virkelig mindre enn tre.

På bildet ser vi løsningen: Den røde grafen ligger under den grønne linjen for alle x fra én til ni. Til venstre for én finnes ikke grafen i det hele tatt, fordi logaritmen ikke eksisterer der. Det er forutsetningen x>1.

Her gjør man feil på en annen måte enn ved eksponentialulikheter. Den som glemmer forutsetningen, skriver resultatet x<9. Men dit hører også null, og log₂(0 − 1) = log₂(−1) eksisterer ikke. Ved en likning ville en glemt forutsetning blitt avslørt av prøven, men ved en ulikhet får vi uendelig mange tall, og alle kan ikke settes inn. Forutsetningen skriver vi derfor alltid med en gang i begynnelsen.

I det siste eksempelet møtes begge fallgruvene:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Forutsetningen er x>0. To skriver vi som en logaritme med grunntall en halv, siden ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Grunntallet er mindre enn én, så ulikhetstegnet snur seg for andre gang:

$$x<\frac{1}{4}$$

Med forutsetningen x>0 får vi løsningen $⟨0,\frac{1}{4}⟩$. Vi kontrollerer for eksempel $x=\frac{1}{8}$: en halv opphøyd i tredje er en åttendedel, så ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, og det er virkelig mer enn to.