Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Üstel eşitsizlik, eşittir işareti yerine bir eşitsizlik işareti bulunan üstel denklemdir. Örneğin şu:

$$2^x>8$$

İşlem, denklemdeki gibi başlar. Sekizi ikinin kuvveti olarak yazarız:

$$2^x>2^3$$

2^x = 2³ denkleminde şimdi üsleri karşılaştırırdık ve x = 3 çıkardı. Bunu neden yapabiliriz? 2^x fonksiyonu artandır: üs ne kadar büyükse kuvvet de o kadar büyüktür. Bu yüzden aynı değeri hiçbir zaman iki kez almaz ve ikinin iki kuvveti ancak üsleri eşitse eşittir. Aynı düşünce eşitsizlikte de işe yarar, yalnızca işaretin hangi yönde olacağına da karar vermemiz gerekir. İkinin herhangi bir kuvveti, ikinin üçüncü kuvvetinden ancak ve ancak üssü üçten büyükse büyüktür:

$$x>3$$

Çözüm (3, ∞) aralığıdır. Tutuyor: 2⁴ = 16 sekizden büyüktür, ama 2² = 4 değildir. Şekilde bu, kırmızı grafiğin yeşil doğrunun üstünde kaldığı x ekseni kısmıdır.

Tabanı birden küçük olan bir eşitsizlik ise farklı sonuçlanır, örneğin ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ fonksiyonu azalandır: üs büyüdükçe yarıyla daha çok kez çarparız ve daha küçük bir sayı çıkar. Şekilde mavi renktedir:

y = 8 doğrusunun üstüne yalnızca −3’ün solunda çıkar; bu yüzden ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ eşitsizliğinin çözümü x < −3 olur. İşaret ters döndü. Üstel eşitsizliklerin bütün püf noktası şu kuraldadır:

• taban birden büyük: fonksiyon artandır ve eşitsizlik işareti aynı kalır,
• taban sıfır ile bir arasında: fonksiyon azalandır ve işaret ters döner.

Tabanın birden küçük olması

Şu eşitsizliğe girişelim:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Dokuzu üçte birin kuvveti olarak yazmamız gerekir. Üçte birin eksi birinci kuvveti üç, eksi ikinci kuvveti dokuz eder:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Tabanlar aynı, ama $\frac{1}{3}$ tabanı birden küçüktür. O hâlde üsleri karşılaştırırız ve işareti ters çeviririz:

$$x\le -2$$

Çözüm (−∞, −2] aralığıdır. x = −3 ile doğrulayalım: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, bu da gerçekten dokuzdan büyüktür.

Bu tür örneklerdeki en sık hata şudur: işareti ters çevirmedim. x ≥ −2 yazana örneğin sıfır da uyardı. Oysa ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ ve bir, dokuzdan küçüktür.

Tabanda kesirle çalışmak sana zor geliyorsa $\frac{1}{3}$’ü 3⁻¹ olarak yazabilirsin. O zaman eşitsizlik 3^−x ≥ 3², yani −x ≥ 2 olur. Bu kez taban birden büyüktür ve işaret aynı kalır, ama eksi bire bölerken eşitsizliklerde işlem kurallarına göre ters döner. Yine x ≤ −2 çıkar. İşaret her hâlükârda ters döner.

Tabanlar aynı olmadığında

3^x < 5 eşitsizliğinde beşi, üçün tam sayı üslü bir kuvveti olarak yazamayız. Denklemlerdeki gibi çözeriz: her iki tarafın logaritmasını alırız, bu kez üç tabanında. Bu logaritma artandır, dolayısıyla işaret değişmez: log₃ 3^x < log₃ 5, yani x < log₃ 5. Sonucu rahatça böyle bırakabiliriz. Sayının yaklaşık yerini 3 < 5 < 9 eşitsizliği gösterir; yani log₃ 5, log₃ 3 = 1 ile log₃ 9 = 2 arasındadır.

Logaritmik eşitsizlikler

Logaritmik eşitsizliklerde taban kuralı aynen geçerlidir ve logaritmik denklemlerden bildiğimiz bir koşul daha eklenir: logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır. Bunu şu eşitsizlik üzerinde deneyelim:

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Önce koşul: x − 1>0, yani x>1. Sonra üçü iki tabanında bir logaritma olarak yazarız, çünkü 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

İki tabanı birden büyüktür, logaritma artandır ve işaret aynı kalır:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Son olarak sonucu koşulla birleştiririz. Hem x>1 hem de x<9 olmalıdır; dolayısıyla çözüm (1, 9) aralığıdır. Kontrol için x = 5 alalım: log₂ 4 = 2, bu da gerçekten üçten küçüktür.

Şekilde çözüm görülüyor: kırmızı grafik, birden dokuza kadar her x için yeşil doğrunun altındadır. Birin solunda grafik hiç yoktur, çünkü orada logaritma tanımlı değildir. İşte x>1 koşulu budur.

Burada hata, üstel eşitsizliklerdekinden farklı yapılır. Koşulu unutan kişi sonucu x<9 diye yazar. Oysa buraya sıfır da girer ve log₂(0 − 1) = log₂(−1) tanımsızdır. Denklemde unutulan koşulu doğrulama ele verirdi, ama eşitsizlikte sonsuz sayıda sayı çıkar ve hepsini yerine yazamayız. Bu yüzden koşulu her zaman en başta yazarız.

Son örnekte iki tuzak birden karşımıza çıkar:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Koşul x>0’dır. İkiyi yarım tabanında bir logaritma olarak yazarız, çünkü ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Taban birden küçüktür, dolayısıyla işaret ikinci kez ters döner:

$$x<\frac{1}{4}$$

x>0 koşuluyla çözüm olarak $(0,\frac{1}{4})$ aralığını buluruz. Örneğin $x=\frac{1}{8}$’i deneyelim: yarımın üçüncü kuvveti sekizde birdir, yani ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$ ve bu gerçekten ikiden büyüktür.