Tilastotieteen perusteet

Tilastotiede on tiede, joka pyrkii tutkimaan todellisia tietoja ja kuvaamaan niitä todennäköisyysteorian avulla.

Tilastotieteelle oma osio

Tämä on vanha ja vanhentunut artikkeli, tilastotieteellä on jo oma osionsa, jossa on johdantoartikkeli Tilastotieteen peruskäsitteet.

Peruskäsitteet

Tilastotieteessä käytetään muutamia peruskäsitteitä, jotka kuvaamme tässä.

Ensinnäkin on tilastoaineisto, joka on äärellinen joukko jotakin tietoa, jota haluamme tutkia. Tiedot voivat olla yleisiä, periaatteessa mitä tahansa. Jos haluat tutkia keskipalkkaa Suomessa, tilastoaineisto on kaikkien Suomen asukkaiden joukko. Tilastoaineiston alkioiden lukumäärää kutsutaan havaintojen lukumääräksi. Määrittelemämme tilastoaineiston havaintojen lukumäärä olisi siis yhtä suuri kuin Suomen asukasluku.

Lisäksi on käsite tilastoyksikkö, joka on tilastoaineiston yksittäinen alkio. Meidän tapauksessamme tilastoyksikkö olisi yksi tietty ihminen.

Lopuksi meillä on tilastollinen muuttuja, joka on se, mitä haluamme mitata. Meidän esimerkissämme tilastollinen muuttuja olisi juuri palkka. Tilastollinen muuttuja voi olla joko laadullinen tai määrällinen. Määrällinen (kvantiteetti = määrä, lukumäärä) muuttuja on sellainen muuttuja, joka voidaan ilmaista luvuilla (esimerkiksi juuri palkka, pituus, lasten lukumäärä, …), laadullinen muuttuja voidaan taas ilmaista sanoin (väri, kyllä/ei, ammatti, …).

Frekvenssit

Frekvenssi voi olla joko suhteellinen tai absoluuttinen, ja se kertoo, kuinka monta kertaa tietty muuttujan arvo esiintyy tilastoaineistossa – joko absoluuttisesti tai suhteellisesti aineiston alkioiden kokonaismäärään nähden.

On tärkeää, että frekvenssiä laskettaessa meidän on sovellettava tilastollista muuttujaa, sillä jos haluaisimme laskea tilastoyksikön absoluuttisen frekvenssin, päätyisimme välttämättä joko lukuun nolla tai yksi, koska tilastoaineisto on joukko ja joukko sellaisenaan ei salli, että siinä on useita samoja alkioita.

Muuttujan z arvon absoluuttinen frekvenssi kertoo siis arvon z esiintymiskertojen lukumäärän tilastoaineistossa S. Esimerkki: olkoon meillä kymmenen oppilaan luokka. Jokainen oppilas sai todistukseen matematiikasta jonkin arvosanan väliltä 4–10. Arvosanat on kirjattu seuraavaan taulukkoon:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 9& 4& 8& 9& 10& 10& 9& 5& 10& 8\end{array}$$

Huomautus: tämän esimerkin tilastoaineisto olisi nämä kymmenen luokkatoveria, jotain tällaista

$$S=\{\text{Onni},\text{Venla},\text{Eino},\dots \}$$

Taulukossa on yksinkertaisuuden vuoksi ensimmäisellä rivillä oppilaan numerotunniste, ensimmäisellä rivillä ovat siis tilastoyksiköt eli tilastoaineiston alkiot. Toisella rivillä ovat tilastollisen muuttujan arvot eli kyseisen oppilaan arvot ”matematiikan loppuarvosana”.

Muuttujan (todistuksen arvosanan) z = 8 absoluuttinen frekvenssi olisi siis kaksi, vain kaksi oppilasta sai todistukseen arvosanan kahdeksan (he ovat ”oppilaat” 3 ja 10). Muuttujan z = 10 absoluuttinen frekvenssi olisi kolme (”oppilaat” 5, 6 ja 9).

Suhteellinen frekvenssi kertoo, kuinka monta prosenttia tilastoaineiston muuttujan arvoista on yhtä suuri kuin arvo z. Muuttujan z suhteellisen frekvenssin laskemme näin:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

missä z_a on muuttujan z absoluuttinen frekvenssi ja |S| on tilastoaineiston havaintojen lukumäärä eli alkioiden lukumäärä. Arvosanan kahdeksan suhteellinen frekvenssi olisi siis:

$$r_8=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Aineistomme havaintojen lukumäärä on kymmenen, koska luokassa on kymmenen oppilasta. Prosenttimuodon saamme kertomalla sadalla, eli saisimme 20 %. Arvosanan 10 suhteellinen frekvenssi olisi

$$r_{10}=\frac{3}{10}.$$

Aritmeettinen keskiarvo

Aritmeettinen keskiarvo eli usein vain keskiarvo on kaikkien tilastoaineiston arvojen keskiarvo. Sanalla arvo tarkoitetaan tilastollisen muuttujan soveltamisen jälkeistä arvoa. Keskiarvo saadaan, kun lasketaan kaikki arvot yhteen ja jaetaan summa aineiston arvojen lukumäärällä. Eli suunnilleen näin:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Lisäsin myös summa-merkinnällä kirjoitetun muodon, jos se on sinusta luettavampi. Mutta edellinen murtolukulauseke riittää. Arvot x edustavat kaikkia aineistomme arvoja.

Esimerkki: otamme edellisen taulukon tiedot ja laskemme oppilaiden keskimääräisen arvosanan.

$$p_a=\frac{9+4+8+9+10+10+9+5+10+8}{10}=\frac{82}{10}=8,2$$

Luokassamme keskiarvo on 8,2. Kuten näet, aritmeettinen keskiarvo voi antaa myös arvon, joka ei oikeastaan ole lainkaan kelvollinen – arvosanaa 8,2 ei voi antaa.

Aritmeettista keskiarvoa on myös huono käyttää tapauksessa, jossa osalla tiedoista on olennaisesti eri arvo kuin muilla. Jos siis meillä on aineisto arvoilla 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, aritmeettiseksi keskiarvoksi tulee

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Näemme, että tulos on kaukana kaikista aineiston arvoista. Se on moninkertainen ensimmäisiin kuuteen lukuun verrattuna ja monta kertaa pienempi kuin viimeinen arvo. Se on ongelma, jonka voi ratkaista esimerkiksi mediaani, katso jäljempänä. Ainakin tiedät nyt, miksi kaksi kolmasosaa ihmisistä ei yllä keskipalkkaan – on pieni joukko ihmisiä, jolla on hyvin keskimääräistä korkeammat palkat, jotka nostavat aritmeettista keskiarvoa.

Geometrinen keskiarvo

Geometrinen keskiarvo lasketaan samaan tapaan kuin aritmeettinen keskiarvo, vain yhteenlaskun sijaan käytetään kertolaskua ja jakolaskun sijaan juurta. Geometrisen keskiarvon laskemme siis näin:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Geometrista keskiarvoa voi käyttää kasvun indikaattorina. Oletetaan esimerkiksi, että jonkin tuotteen hinta nousi vuodessa 10 %, seuraavana vuonna 15 % ja sitä seuraavana 5 %. Alkuperäinen hinta c oli siis näiden kolmen vuoden jälkeen arvossa

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Näiden kertoimien geometrinen keskiarvo olisi:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Mitä se tarkoittaa? Että jos hinta kerrottaisiin joka vuosi täsmälleen luvulla 1,0992419 (eli se nousisi noin 9,92 %), lopullinen hinta olisi samassa arvossa:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Moodi ja mediaani

Muuttujan moodi eli tyyppiarvo on arvo, jolla on suurin frekvenssi, ja sitä merkitään Mo(x). Jos palaamme arvosanaesimerkkiin, moodeja ovat arvot 9 ja 10, koska ne esiintyvät useimmin – molempien absoluuttinen frekvenssi on 3.

Mediaani on keskimmäinen arvo, ja sitä merkitään Md(x). Jos osaamme järjestää arvot ei-väheneväksi lukujonoksi

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

mediaani on arvo, joka on tämän lukujonon keskellä. Keskimmäinen arvo on silloin erilainen sen mukaan, onko lukujonon alkioiden lukumäärä pariton vai parillinen. Jos pariton, mediaani on alkio paikalla

$$\text{Md}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Jos lukujonossa on parillinen määrä alkioita, siinä ei ole alkiota, joka olisi aivan keskellä (esimerkki: lukujonolla 1, 2, 3, 4 ei yksinkertaisesti ole keskimmäistä alkiota). Siksi otamme kahden keskimmäisen arvon keskiarvon (arvojen 2 ja 3 keskiarvon). Kaava parilliselle n:

$$\text{Md}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Palataan esimerkkiin, joka havainnollisti huonosti käytettyä aritmeettista keskiarvoa. Meillä oli arvojen aineisto s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Moodi olisi kaksi, se on ainoa luku, joka toistuu. Mediaanin laskemiseksi järjestämme luvut lukujonoksi:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Lukujonossa on seitsemän alkiota, keskimmäinen alkio on siis a₄, ja se on kolme.