Todennäköisyysjakauma

Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma kertoo, millä todennäköisyydellä satunnaismuuttuja saa juuri tietyn arvon.

Diskreetin muuttujan jakauma

Otetaan jokin diskreetti satunnaismuuttuja. Voisimme esimerkiksi seurata, montako tuoppia olutta päivässä kantakuppilan vakiasiakas Make juo. Seuraamalla Makea koko kuukauden rakensimme seuraavan taulukon:

Näemme, että Make piti kuukauden alussa vielä vähän itseään kurissa, mutta sen jälkeen hän kumosi yhden oluen toisensa perään. Ja viikko 11. päivästä alkaen on täytynyt olla hurja. Merkitään tätä diskreettiä satunnaismuuttujaa X:llä. Nyt meitä kiinnostaa, mikä on todennäköisyys sille, että Make juo jonkin yksittäisen kuukauden päivän aikana juuri x tuoppia olutta.

Ennen kuin laskemme itse todennäköisyyden, piirrämme tavallisen frekvenssikuvaajan. Käymme läpi kaikki tuoppimäärät, jotka Make joi jonakin päivänä, ja merkitsemme ne frekvenssikuvaajaan. Esimerkiksi kymmenen tuoppia Make joi yhteensä yhdeksän kertaa, joten arvolle kymmenen tuoppia meillä on pylväs, jonka arvo on yhdeksän:

Kuvaaja luetaan niin, että Make joi kuusi tuoppia kolmena päivänä kuukaudessa.

Mikä on todennäköisyys, että Make joi päivässä kymmenen tuoppia? Muodollisesti kirjoittaisimme sen näin: merkitsemme todennäköisyysfunktiota P:llä, ja kysymyksen kymmenestä tuopista kirjoittaisimme näin: P(X = 10). Kysymme siis, mikä on todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X saa arvon kymmenen.

Todennäköisyys on yhtä suuri kuin arvon suhteellinen frekvenssi. Piirretään siis vielä suhteellisen frekvenssin kuvaaja:

Nyt voimme sanoa, että P(X = 10) on 0,3 eli 30 %.

Tilastollinen ja klassinen todennäköisyys

Otetaan esimerkiksi tavallinen noppa. Yritetään heittää sitä 600 kertaa. Klassisen todennäköisyyden kannalta meillä on yhtä suuri mahdollisuus saada ykkönen, kakkonen, …, kuutonen. Jokaisen nopan tahkon heittotodennäköisyys on $\frac{1}{6}$. Aivan teoreettisesti jokaisen tahkon pitäisi siis tulla tasan sata kertaa, kun heitämme noppaa kuusisataa kertaa.

Niin ei tietenkään todennäköisesti käy. Kokeessamme voimme saada nämä tulokset:

Näemme, että yhden silmäluvun suhteellinen frekvenssi ja siis myös todennäköisyys on 0,175 eli 17,5 %. Se on kyllä lähellä todennäköisyyttä $\frac{1}{6}$, joka on 0,16666…, mutta ei aivan tarkka.

Se ei tarkoita, että jompikumpi todennäköisyys olisi väärä. Täydellisesti tasapainotetun nopan rakentaminen ei ole lainkaan helppo tehtävä, ja myös itse kokeen tekeminen, jossa noppaa heitetään 600 kertaa, voi olla vaikeaa.

Klassinen todennäköisyys toimii siis ihanteellisissa olosuhteissa, joissa noppaa heitettäisiin loputtomasti. Mitä pidempään ihanteellisen tasapainoista noppaa heitettäisiin, sitä lähemmäs yksittäisten heittojen suhteelliset frekvenssit pääsisivät teoreettista klassista todennäköisyyttä.

Siksi erotamme kaksi todennäköisyyttä — klassisen, joka perustuu idealisoituihin olosuhteisiin, ja tilastollisen (myös empiirisen), jonka laskemme omien aineistojemme suhteellisista frekvensseistä.

Tilastollisen todennäköisyyden laskemiseksi meillä pitäisi olla käytössämme riittävän suuri aineisto. Esimerkiksi Maken seurasimme vain yhden kuukauden, mutta olisi paljon parempi, jos seuraisimme häntä vähintään vuoden.

Jatkuvan muuttujan jakauma

Jatkuvalle muuttujalle emme määritä todennäköisyyttä tietyssä pisteessä vaan aina vain jollakin välillä. Todennäköisyys on yhtä suuri kuin käyrän alle jäävän alueen pinta-ala, joten laskemiseen tarvitsemme integraalia. Meillä voi olla tällainen jatkuvan muuttujan kuvaaja, kyse voi olla esimerkiksi jonkin poikkeaman mittaamisesta senttimetreinä:

x-akselilla ovat siis arvot senttimetreinä ja y-akselilla suhteelliset frekvenssit. Oletetaan, että olemme mitanneet vain arvoja välillä [−4, 4]. Empiirinen todennäköisyys sille, että mittaamme poikkeaman tällä välillä, on siis 1 eli 100 %.

Miten pinta-ala liittyy tähän? Sanomme, että pinta-ala ${\int }_{-4}^{4}p(x)$, jossa p on todennäköisyysfunktio, kertoo juuri nuo 100 %. Jos kysyisimme, mikä on empiirinen todennäköisyys sille, että arvo on välillä [0, 4], saisimme tällaisen kuvan:

Edellinen korostettu alue vastasi 100 %:a, tämä vastaa 50 %:a, koska pinta-ala on selvästi puolet. Tilastollinen todennäköisyys ilmaistaisiin tarkasti suhteena

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Suurten lukujen laki

Edelliseen lukuun liittyy tunnettu suurten lukujen laki. Se sanoo epämuodollisesti, että kun riippumattomia kokeita on suuri määrä, suhteellinen frekvenssi (tilastollinen todennäköisyys) lähestyy klassista todennäköisyyttä.

Voimme kuvitella tämän jälleen kolikonheittona. Voimme saada kruunun tai klaavan, ja kummankin todennäköisyys on $\frac{1}{2}$ eli 50 %. Jos heitämme kolikkoa neljä kertaa, voimme saada kolme kertaa kruunun ja kerran klaavan. Suhteelliset frekvenssit ovat silloin $\frac{3}{4}$ ja $\frac{1}{4}$. Se on melko kaukana luvusta $\frac{1}{2}$.

Jos heitämme yhteensä kymmenen kertaa, voimme saada seitsemän kertaa kruunun ja kolme kertaa klaavan. Frekvenssit ovat $\frac{7}{10}$ ja $\frac{3}{10}$. Siinä on edelleen matkaa lukuun $\frac{1}{2}$, mutta nämä luvut ovat silti lähempänä yhtä puolikasta kuin edelliset frekvenssit.

Näin voisimme jatkaa pidemmälle. Jos heittäisimme kolikkoa tuhat kertaa, voisimme saada 520 kertaa kruunun ja 480 kertaa klaavan. Frekvenssit ovat silloin $\frac{13}{25}$ ja $\frac{12}{25}$, jotka ovat jo hyvin lähellä yhtä puolikasta (esimerkiksi $\frac{13}{25}=0,52$).

Huomaa, että vaikka suhteelliset frekvenssit ovat paljon lähempänä yhtä puolikasta, absoluuttiset frekvenssit ovat paljon kauempana ”ihanteellisesta” frekvenssistä. Kun heitimme kolikkoa kymmenen kertaa, ihanteellinen absoluuttinen frekvenssi oli kummallekin puolelle 5. Siis viisi kertaa kruunu ja viisi kertaa klaava. Koska kruunu tuli seitsemän kertaa, ero on kaksi heittoa: 7 − 5 = 2. Heitimme ”kaksi heittoa toisin” kuin ihanteellisessa tilanteessa tapahtuisi.

Kun taas heitimme kolikkoa tuhat kertaa, kruunu tuli 520 kertaa, mikä antaa 20 heiton eron ihanteeseen, koska ihanteellisessa tapauksessa kummankin puolen olisi pitänyt tulla 500 kertaa. Vaikuttaisi siis siltä, että mitä useammin heitämme, sitä kauempana tulokset ovat.

Se ei kuitenkaan haittaa, sillä suurten lukujen laki ei väitä, että absoluuttiset frekvenssit lähestyisivät ihannetta, vaan suhteelliset. Ja ne lähestyvät. Absoluuttisissa frekvensseissä voimme siis ehkä etääntyä, mutta suhteellisissa lähestymme.