Tasajakauma ja normaalijakauma

On olemassa kaksi tyypillistä frekvenssijakaumaa, joita voimme kohdata arkielämässäkin. Ne ovat tasajakauma ja normaalijakauma.

Tasajakauma

Tasajakauma tarkoittaa, että aineistossamme kaikki arvot esiintyvät yhtä usein. Voimme esimerkiksi laskea, kuinka monta kuukautta oli vuosissa 2000, 2001, …, 2009:

Jos heitämme tavallista idealisoitua noppaa, todennäköisyys saada 1 on $\frac{1}{6}$, todennäköisyys saada 2 on $\frac{1}{6}$ ja niin edelleen. Kyse on siis todennäköisyyksien tasajakaumasta, koska jokaisella tuloksella on sama todennäköisyys.

Epätasainen jakauma olisi, jos meillä olisi painotettu noppa, jolla tulisi todennäköisyydellä $\frac{1}{3}$ aina kuutonen. Muiden tahkojen todennäköisyys ei voi myöskään olla $\frac{1}{3}$. Samoin voisimme laskea päivien lukumäärän eri kuukausissa — kaikissa kuukausissa ei ole yhtä monta päivää, joten kyse ei olisi tasajakaumasta.

Normaalijakauma

Normaalijakaumaa kutsutaan joskus myös Gaussin jakaumaksi. Sitä käytetään vain jatkuville satunnaismuuttujille. Standardinormaalijakauma näyttää tältä:

Tätä käyrää kuvaa niin sanottu Gaussin funktio, jonka muoto on:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Funktio on melko monimutkainen, eikä sinun tarvitse muistaa sitä. Näemme kuitenkin, että normaalijakauman voi parametrisoida keskiarvon ja keskihajonnan/varianssin avulla. Keskiarvon ja hajonnan eri arvoilla saamme erilaisia kuvaajia:

Normaalijakauma on tärkeä siksi, että se mallintaa melko uskollisesti erilaisia jakaumia, joita voimme todellisuudessa kohdata. Näemme, että käyrällä on aina yksi globaali maksimi, ja se on nimenomaan keskiarvon kohdalla. Esimerkiksi punaisen käyrän maksimi on pisteessä X = 0, joten tämän suureen keskiarvo on nolla. Käyrä on symmetrinen sellaisen suoran suhteen, joka on kohtisuorassa X-akselia vastaan ja kulkee keskiarvon eli pisteen X = 0 kautta. Toisin sanoen käyrä näyttää nollan vasemmalla puolella samalta kuin nollan oikealla puolella. Vihreällä käyrällä on samat ominaisuudet, mutta ei nollan vaan pisteen X = −2 suhteen.

Normaalijakauma voi kuvata uskollisesti älykkyyden eli ÄO:n (älykkyysosamäärän) jakautumista ihmisten kesken. ÄO:n keskiarvo on — määritelmän mukaan — 100. Samalla pätee, että ihmisiä, joiden ÄO on korkeampi kuin 100, on suunnilleen yhtä paljon kuin niitä, joiden ÄO on alle 100. Hieman keskimääräistä älykkäämpiä on suunnilleen yhtä paljon kuin hieman keskimääräistä vähemmän älykkäitä, ja tyhmiä on yhtä paljon kuin neroja. Vaikka siltä ei aina näytä :-). Kuvaaja, joka esittää ÄO:n likimääräistä jakaumaa:

Normaalijakaumassa keskihajonnalla on suuri rooli. Jos jakauma on normaali ja sen keskihajonta on σ, noin 68 % arvoista on välillä [μ − σ, μ + σ]. Noin 68 % arvoista poikkeaa siis keskiarvosta enintään yhden keskihajonnan verran. Noin 95 % arvoista on välillä [μ − 2σ, μ + 2σ] ja 99,7 % arvoista välillä [μ − 3σ, μ + 3σ]. Seuraava kuva havainnollistaa tämän selkeästi:

Linkit ja lähteet

• Osa kuvista on Wikipediasta, artikkelit Normaalijakauma ja Älykkyys.