Onko parillisia vai parittomia lukuja enemmän?
Mitä luulet, mitä lukuja on enemmän? Parillisia vai parittomia? Vai onko niitä yhtä paljon? Miten sen voisi ratkaista? Entä muut luvut? Onko parillisia lukuja enemmän vai positiivisia kokonaislukuja? Positiivisia kokonaislukuja vai rationaalilukuja? Asia ei ole aivan yksinkertainen, koska kaikkia mainittuja lukuja on äärettömän monta. Silti niitä pystytään vertaamaan ja selvittämään, mitä lukuja on enemmän ja mitä vähemmän.
Kokeillaan ensin pienellä lukujen joukolla. Kuvitellaan kaksi lukujoukkoa: siniset luvut ja punaiset luvut:
Voiko jotenkin sanoa, mitä lukuja on enemmän? Punaisia vai sinisiä? Selvästi nähdään, että… Mitä? Oletko värisokea etkä näe sitä selvästi? No hyvä on, tästä lähtien punaiset luvut näytetään lisäksi neliöinä:
Hyvä, nyt nähdään selvästi, että sinisiä lukuja on enemmän kuin punaisia. Se oli helppoa, koska käsitellään äärellisiä lukujoukkoja, joten ne pystytään laskemaan. Nähdään, että sinisiä lukuja on kuusi ja punaisia vain kolme. Äärettömät joukot eivät ole yhtä helppoja, koska niitä ei voi laskea. Vastataan siis otsikon kysymykseen: onko parillisia vai parittomia lukuja enemmän? Pysytään yksinkertaisuuden vuoksi positiivisissa luvuissa. Kuvittele pussi, joka on täynnä kaikkia parittomia lukuja, ja pussi, joka on täynnä kaikkia parillisia lukuja. Kumpi pussi on suurempi?
Äärettömän monen luvun kuvitteleminen ei ole aivan helppoa, ja niiden laskeminen on vielä vaikeampaa. Eikö joukkojen kokoja voisi verrata jollakin toisella tavalla?
Kahden äärellisen joukon vertailu
Kuvittele, että sinulla on pussi täynnä sulhasia ja pussi täynnä morsiamia. Jos jokaiselle sulhaselle on yksi morsian ja jokaiselle morsiamelle yksi sulhanen, voidaan sanoa, että sulhasia ja morsiamia on yhtä monta:
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Näetkö? Ensimmäisen rivin jokaisella morsiamella on oma aviomiehensä toiselta riviltä ja päinvastoin — jokaisella aviomiehellä on oma vaimonsa. Voisi kuitenkin käydä myös toisin: jokaisella morsiamella olisi aviomies, mutta ei jokaisella aviomiehellä morsianta:
👰 👰 👰 👰 👰 ❌
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Jokaisella vaimolla on aviomies, mutta yksi aviomies jää surullisena vanhaksipojaksi ilman vaimoa. Kun yksi aviomies jää yli, voidaan sanoa, että aviomiehiä on enemmän kuin vaimoja. Vastaavasti jos yksi morsian jää yli
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌
voidaan sanoa, että morsiamia on enemmän kuin aviomiehiä.
Kahden äärettömän joukon vertailu
Voidaanko tätä menettelyä käyttää kahden äärettömän joukon vertailuun? Voidaanko jokainen pariton luku pariuttaa jonkin parillisen luvun kanssa ja jokainen parillinen luku jonkin parittoman luvun kanssa niin, ettei yhtäkään lukua käytetä useammin kuin kerran? Voidaan! Jokainen pariton luku n voidaan pariuttaa parillisen luvun n + 1 kanssa. Luku 5 pariutetaan siis luvun 5 + 1 kanssa, luku 149 luvun 150 kanssa jne. Pariuttamisen havainnollistaa seuraava animaatio:
Jokaista paritonta punaista lukua vastaa oma sininen parillinen luku, ja jokaista parillista sinistä lukua vastaa oma punainen pariton luku. Onnistuttiin pariuttamaan kaikki parittomat luvut kaikkien parillisten lukujen kanssa. Se kuitenkin tarkoittaa, että parillisia ja parittomia lukuja on yhtä paljon!
No hyvä, eihän se ollut kovin yllättävää? Verrataan muita lukujoukkoja: kaikkia positiivisia kokonaislukuja ja parillisia lukuja. Tässä tulos on jo järkyttävämpi.
Onko positiivisia kokonaislukuja vai parillisia lukuja enemmän?
Mitä lukuja on enemmän? Positiivisia kokonaislukuja vai parillisia?
Selvästi nähdään, että positiiviset kokonaisluvut sisältävät samalla kaikki parilliset luvut. Lisäksi positiiviset kokonaisluvut sisältävät vielä joitakin ylimääräisiä lukuja — parittomat luvut. On siis selvää, että positiivisia kokonaislukuja täytyy olla enemmän — niihinhän kuuluu kaksi kertaa enemmän lukuja!
Voi, kunpa elämä olisi niin yksinkertaista!
Olennaista ei nimittäin ole, sisältääkö toinen lukujoukko ylimääräisiä lukuja, vaan se, pystytäänkö kahden eri joukon luvut jotenkin pariuttamaan. Voidaanko jokainen parillinen luku pariuttaa jokaisen positiivisen kokonaisluvun kanssa? Vaikka positiivisia kokonaislukuja on enemmän? Kyllä voidaan.
Jokainen positiivinen kokonaisluku p voidaan yksinkertaisesti pariuttaa parillisen luvun 2 · p kanssa ja päinvastoin — jokainen parillinen luku n voidaan pariuttaa positiivisen kokonaisluvun n / 2 kanssa. Positiivinen kokonaisluku 5 pariutetaan siis parillisen luvun 10 kanssa ja parillinen luku 14 positiivisen kokonaisluvun 7 kanssa jne. Pariuttamisen ensimmäisille luvuille havainnollistaa seuraava animaatio:
Yhtäkkiä jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle on oma parillinen luku ja jokaiselle parilliselle luvulle oma positiivinen kokonaisluku! Mitä väliä sillä on, että positiivisia kokonaislukuja on enemmän. Molempia lukuja on äärettömän monta, eivätkä ne lopu koskaan kesken. Tästä näkökulmasta parillisten lukujen joukko on siis yhtä suuri kuin positiivisten kokonaislukujen joukko! 😱
Se on hieman epäintuitiivista, mutta niin se on.
Onko positiivisia kokonaislukuja vai rationaalilukuja enemmän?
Rationaaliluvut ovat murtolukuja. Kaikki luvut, jotka voi kirjoittaa muodossa p/q, missä p ja q ovat kokonaislukuja ja q ≠ 0, ovat rationaalilukuja. Esimerkiksi ½, ¾ ja 8 ovat rationaalilukuja, mutta π ei ole rationaaliluku. Rationaalilukuja on paljon enemmän kuin positiivisia kokonaislukuja. Esimerkiksi lukujen 2 ja 4 välissä on vain yksi kokonaisluku, nimittäin 3, mutta rationaalilukuja on äärettömän monta. Äärettömän monta rationaalilukua on myös lukujen 0,001 ja 0,002 välissä. Niin paljon rationaalilukuja on!
Voisi siis odottaa, että rationaalilukujen joukon täytyy olla suurempi kuin positiivisten kokonaislukujen joukon. Silti kaikki jotenkin aavistavat, että tässä on jokin juju. No hyvä, yritetään pariuttaa rationaaliluvut positiivisten kokonaislukujen kanssa. Aloitetaan kirjoittamalla rationaaliluvut tällaiseen taulukkoon:
Periaatteen pitäisi olla selvä: kaikkien ensimmäisen rivin murtolukujen osoittajassa (murtoviivan yläpuolella) on ykkönen ja nimittäjässä peräkkäin kasvavat luvut 1, 2, 3 jne. Sarakkeessa on sitten päinvastoin. Jos jatkettaisiin äärettömyyteen asti, tässä taulukossa olisivat kaikki olemassa olevat murtoluvut. Esimerkiksi murtoluku 1478/517 on rivillä 1478 ja sarakkeessa 517. Yritetään nyt luoda pariuttava funktio. Sen voisi luoda näin:
- Positiivinen kokonaisluku 1 pariutetaan ensimmäisen rivin ensimmäisen murtoluvun kanssa, eli luvun 1/1 kanssa
- Positiivinen kokonaisluku 2 pariutetaan ensimmäisen rivin toisen murtoluvun kanssa, eli luvun 1/2 kanssa
- Positiivinen kokonaisluku 3 pariutetaan ensimmäisen rivin kolmannen murtoluvun kanssa, eli luvun 1/3 kanssa
- Positiivinen kokonaisluku 4 pariutetaan ensimmäisen rivin neljännen murtoluvun kanssa, eli luvun 1/4 kanssa
- …
Onnistuttiinko näin pariuttamaan kaikki positiiviset kokonaisluvut? Kyllä. Jokaisella positiivisella kokonaisluvulla on vastinparinsa. Positiivisen kokonaisluvun 174 vastinparina on murtoluku 1/174. Mutta päteekö tämä myös toisin päin? Onko jokaisella murtoluvulla vastinparinsa positiivisissa kokonaisluvuissa? Mikä on murtoluvun 2/3 vastinpari? Ei mikään, koska pariuttavalla funktiolla ei koskaan päästy toiselle riville. Pariutettiin vain ensimmäinen murtolukujen rivi.
Tarkoittaako tämä, että rationaalilukuja on enemmän kuin positiivisia kokonaislukuja? Valitettavasti ei — se, ettei yksi pariuttamisstrategia toimi, ei tarkoita, ettei toinen toimisi. Kokeillaan tällä kertaa edetä lävistäjiä pitkin:
- Positiivinen kokonaisluku 1 pariutetaan murtoluvun 1/1 kanssa (ensimmäinen lävistäjä),
- positiivinen kokonaisluku 2 pariutetaan murtoluvun 1/2 kanssa (toinen lävistäjä),
- positiivinen kokonaisluku 3 pariutetaan murtoluvun 2/1 kanssa (toinen lävistäjä),
- positiivinen kokonaisluku 4 pariutetaan murtoluvun 1/3 kanssa (kolmas lävistäjä),
- positiivinen kokonaisluku 5 pariutetaan murtoluvun 2/2 kanssa (kolmas lävistäjä),
- positiivinen kokonaisluku 6 pariutetaan murtoluvun 3/1 kanssa (kolmas lävistäjä),
- jne.
Pariuttamisstrategioihin voi tutustua animaatiossa:
Näin voidaan kattaa kaikki murtoluvut. Mikään lävistäjä ei ole ääretön, joten ei jäädä mihinkään lävistäjään jumiin ”ikuisiksi ajoiksi”. Lopulta jokaiselle murtoluvulle tulee jokin positiivinen kokonaisluku ja jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle tietenkin oma murtoluku.
No… itse asiassa ei aivan. Kun katsotaan murtolukutaulukkoa uudelleen, huomataan, että siinä toistuu monta lukua. Esimerkiksi murtoluvut 1/1, 2/2, 3/3 jne. esittävät samaa lukua — lukua 1. Samoin murtoluvut 1/2, 2/4 ja 3/6 esittävät yhtä puolikasta. Itse asiassa positiiviset kokonaisluvut 1, 5, 13 jne. kuvataan samalle rationaaliluvulle 1! Useat sulhaset menisivät naimisiin saman morsiamen kanssa. Niin ei voi tehdä!
Onneksi tämä on helppo korjata. Yksinkertaisesti yliviivataan taulukosta kaikki murtoluvut, jotka eivät ole sievimmässä muodossa, eli yliviivataan kaikki murtoluvut, jotka voi supistaa. Yliviivauksen jälkeen taulukkoon jäävät vain keskenään erisuuret rationaaliluvut, ja lävistäjätemppu toimii. Jokainen positiivinen kokonaisluku pariutetaan yksikäsitteisen rationaaliluvun kanssa ja päinvastoin.
Se kuitenkin tarkoittaa, että positiivisten kokonaislukujen joukko on yhtä suuri kuin rationaalilukujen joukko!
Toistaiseksi näyttää siltä, että kaikki äärettömät joukot ovat yhtä suuria. Onko olemassa ääretöntä joukkoa, joka on suurempi kuin positiivisten kokonaislukujen joukko?
Onko positiivisia kokonaislukuja vai reaalilukuja enemmän?
Peliin tulee viimeinen pelastus: reaaliluvut. Muita lukuja lukusuoralla ei enää ole. Millaisia reaaliluvut ovat? Reaaliluvut sisältävät kaikki rationaaliluvut ja lisäksi kaikki irrationaaliluvut. Kun luku kirjoitetaan desimaalimuodossa, rationaaliluvulla on joko
- päättyvä desimaalikehitelmä, esim. 0,4841554,
- tai ääretön jaksollinen kehitelmä: 0,1313131313…
Irrationaaliluvuilla sen sijaan on aina ääretön desimaalikehitelmä, joka ei lisäksi ole jaksollinen. Irrationaaliluku on esimerkiksi luku π, joka on 3,141592653… (ei jaksoa). Sanotaan heti etukäteen, että reaalilukuja on paljon enemmän kuin rationaalilukuja ja siis kuin positiivisia kokonaislukuja. Reaalilukujen joukko on suurempi kuin positiivisten kokonaislukujen joukko. Miten tämä todistetaan?
Kuvittele, että on löydetty jokin pariuttamisstrategia, jolla kaikki positiiviset kokonaisluvut ja kaikki reaaliluvut saadaan pariutettua. Olkoon se vaikka tämä:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… …
Oletetaan, että vasemmalla ovat kaikki positiiviset kokonaisluvut ja oikealla kaikki reaaliluvut. Jos tämä pitäisi paikkansa, ei löytyisi yhtään reaalilukua, joka puuttuisi oikealta puolelta. Koska on jo spoilattu, että reaalilukujen joukko on suurempi, se tarkoittaa, että oikealta puolelta puuttuu jokin luku. Mutta mikä? Esimerkiksi nähdään, että puuttuu luku 0,4818063607183678. Mutta entä jos se piileekin luvun 8 alla?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 …
Entä luku 0,4208424736008147? Sitäkään ei näy. Mutta entä jos se piileekin luvun yhdeksän alla?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
Näin ei onnistu. Koska kaikkia pareja ei tietenkään voi kirjoittaa, sillä niitä on äärettömän monta, ei voi vain arvailla, onko tämä luku mukana vai ei. Tarvittaisiin luku, joka eroaa kaikista taulukon oikeanpuoleisista luvuista, vaikka ei tiedetä, mitkä kaikki oikeanpuoleiset luvut ovat. Miten se onnistuu?
Jotta kaksi lukua olisivat eri lukuja, riittää, että ne eroavat yhdessä numerossa. Esimerkiksi luvut 0,123456 ja 0,123457 eivät ole samat — mutta ne eroavat vain yhdessä numerossa. Se riittää. Voidaan siis taulukossa aina korostaa n:nnen reaaliluvun n:s numero desimaalipilkun jälkeen:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
ja muodostaa uusi luku niin, että sen n:s numero desimaalipilkun jälkeen eroaa n:nnen reaaliluvun n:nnestä numerosta. Uusi luku rakennetaan siis aloittamalla nollasta: 0,??? ja valitsemalla ensimmäinen numero desimaalipilkun jälkeen niin, että se eroaa ensimmäisen reaaliluvun ensimmäisestä numerosta, eli niin, että se eroaa kolmosesta. Kirjoitetaan vaikka 0,1???. Toisen numeron täytyy olla eri kuin toisen reaaliluvun toinen numero, eli sen täytyy olla eri kuin 9. Kirjoitetaan vaikka kakkonen: 0,12???. Jne. Ensimmäiset yhdeksän numeroa voisivat siis näyttää tältä: 0,123123127 (ks. taulukon viimeinen rivi):
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 ? → 0,123123127
Nähdään, että tämä luku eroaa kaikista luvuista, koska se eroaa jokaisesta ainakin yhdessä numerossa. Vaikka taulukossa on äärettömän monta lukua, uusi luku on muodostettu äärettömän monesta numerosta niin, että se eroaa kaikista taulukon luvuista ainakin yhdessä numerossa. Huomaa myös, että voidaan muodostaa äärettömän monta lukua, jotka eivät ole taulukossa! Mitä tästä seuraa? Positiivisia kokonaislukuja ei pystytä pariuttamaan reaalilukujen kanssa. Jäljelle jää aina äärettömän monta reaalilukua, joita ei ole pariutettu yhdenkään positiivisen kokonaisluvun kanssa. Reaalilukuja on paljon enemmän kuin positiivisia kokonaislukuja.
Loppuhuomautuksia
- Koko artikkelissa jätettiin yksinkertaisuuden vuoksi negatiiviset luvut huomiotta. Ne eivät tietenkään muuta asiaa miksikään, ja kotitehtävänä voit muokata tässä esitetyt pariuttamisstrategiat toimimaan myös negatiivisilla luvuilla.
- Positiivisten kokonaislukujen joukon koolla on jopa oma nimensä. Sitä kutsutaan alef-nollaksi.
- Matematiikassa käytetään usein sanan ”joukon koko” sijaan käsitettä joukon kardinaliteetti eli mahtavuus.
