Systèmes d’équations

En pratique, on rencontre souvent le cas où l’on ne résout pas une seule équation, mais deux équations en même temps, voire davantage. Nous allons d’abord montrer comment résoudre un tel système par la méthode par substitution. Pour résoudre les systèmes à l’aide de matrices, passe à l’article systèmes d’équations linéaires.

Notions de base

Un système d’équations est un ensemble de plusieurs équations que l’on résout ensemble. Dans un système, on a en général plusieurs variables, et l’on cherche des nombres qui, mis à la place de toutes les variables, rendent vraies toutes les équations.

Voici un exemple de système :

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

La solution de ce système est un couple (ou un ensemble de couples) de nombres que l’on substitue à a et à b, de sorte que les deux équations restent vraies. À vue d’œil, on voit que la variable a doit être égale à −b pour que a + b = 0 soit vérifiée. Avec cette information, on voit facilement à partir de la seconde équation que a = 10 et b = −10. En remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Voilà, la résolution à vue d’œil est faite ; passons maintenant à des méthodes fiables pour résoudre les systèmes d’équations.

Méthode par substitution

Dans la méthode par substitution, on exprime l’une des inconnues dans l’une des équations, puis on insère ce résultat dans l’autre équation. Il nous faut donc d’abord un système, par exemple celui-ci :

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Il s’agit d’un système simple de deux équations à deux inconnues. Notre but est de trouver les valeurs de x et de y pour lesquelles les deux équations sont vérifiées. De la première équation, on isole y. On ne prend donc que la première équation et l’on isole y.

$4 x + 2 y = 6$

On commence par soustraire 4x :

$2 y = 6 - 4 x$

On divise par deux :

$y = 3 - 2 x$

On sait maintenant ce que vaut y. On peut substituer ce résultat à la variable y dans la seconde équation : on écrit donc 3 − 2x à la place de y. Qu’obtient-on ainsi ? Dans la seconde équation, il n’y a plus deux variables mais une seule, puisque l’on remplace y par une expression qui ne contient que x. On substitue donc :

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Il suffit de développer la parenthèse et de simplifier autant que possible :

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

On connaît maintenant la valeur de x, qui est égale à deux. Il reste à calculer y. Pour cela, on substitue la valeur déjà connue de x dans une équation qui contient les deux variables, x et y. On peut par exemple choisir la toute première équation. On substitue :

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Nous avons ainsi résolu le système. Le système admet une solution unique, à savoir x = 2 et y = −1. Si tu veux vérifier ce résultat, il suffit de remplacer x et y dans les deux équations. Voici la substitution dans la première équation :

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Et la substitution dans la seconde :

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Méthode par combinaison linéaire

Personnellement, je préfère cette méthode, mais cela dépend bien sûr de l’exemple. Elle ne convient pas toujours. Le principe de la méthode par combinaison linéaire est qu’additionner des équations constitue, lors de la résolution d’un système, une transformation équivalente. Additionner des équations consiste à additionner les membres de gauche entre eux, puis les membres de droite entre eux. Considérons maintenant, de manière générale, le système suivant :

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

En additionnant ces équations, on obtiendrait une seule équation, définie ainsi :

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

On a additionné séparément les membres de gauche et les membres de droite. Mais quel est notre objectif ? Si l’on additionne deux équations et qu’il reste deux variables, cela ne nous avance pas beaucoup. On cherche donc à faire disparaître une variable après l’addition des deux équations, c’est-à-dire que ses termes s’annulent mutuellement. On vise ainsi à ce que la somme de l’une des paires de fonctions, soit f, soit g, soit nulle :

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Comment y parvenir ? Le système est composé d’équations ordinaires, auxquelles on peut appliquer les transformations équivalentes que l’on connaît pour les équations usuelles. On peut donc multiplier l’une des équations par un nombre, sans que ses solutions changent. Essayons de résoudre le système précédent par la méthode par combinaison linéaire. L’énoncé est le même :

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Si l’on additionnait immédiatement les équations, il resterait les deux variables :

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Il faut donc d’abord appliquer quelques transformations. Nous allons essayer de faire « disparaître » la variable y. Pour cela, il faut que les coefficients de y dans les deux équations soient égaux en valeur absolue, mais de signes opposés. On cherche donc le plus petit commun multiple, qui vaut 6. Une méthode simple consiste à multiplier les coefficients : deux fois trois font six, et le nombre six est bien divisible par les deux coefficients (remarque : ce procédé ne garantit pas le plus petit commun multiple, mais il donne un nombre divisible par les deux coefficients).

On cherche maintenant à obtenir le coefficient six devant y dans chaque équation. On multiplie donc la première équation par trois et la seconde par deux :

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

On obtient :

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Additionnons maintenant les équations :

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Nous obtenons ainsi une équation à une inconnue, que l’on sait déjà résoudre facilement :

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

On voit que l’on obtient le même résultat qu’avec la méthode par substitution précédente. Il suffirait ensuite de substituer à nouveau x dans une équation pour obtenir y = −1. La vérification se ferait exactement de la même façon.

Nombre de solutions

Un système d’équations n’a pas nécessairement une solution unique. Il peut aussi avoir une infinité de solutions, ou au contraire aucune solution. Voici brièvement quand cela se produit. Si l’on a deux équations à deux inconnues et que l’une d’elles peut s’obtenir à partir de l’autre par une transformation équivalente, alors le système admet une infinité de solutions. Prenons pour exemple le système

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

On voit que si l’on multiplie la première équation par deux, on obtient exactement la seconde. La seconde équation n’apporte donc aucune « nouvelle information » sur le système, elle est pratiquement inutile. Concrètement, cela se traduit par le fait que toute solution de l’équation

$x + y = 2$

est en même temps solution de tout le système. Par exemple, les couples (1 ; 1) et (−3 ; 5) sont solutions de la première équation, et donc de tout le système.

Le système n’a en revanche aucune solution lorsqu’il contient des équations contradictoires, qui ne peuvent pas être vraies en même temps. Par exemple :

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Il est impossible que la somme x + y soit égale à deux et à quatre en même temps ; le système n’a donc aucune solution. Encore quelques exemples :

Premier exemple

Résous le système de deux équations à deux inconnues suivant :

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Au premier coup d’œil, on voit que ce système se prête bien à la méthode par combinaison linéaire. Le coefficient de x est deux fois plus grand dans la seconde équation que dans la première, et le coefficient de y est trois fois plus grand dans la seconde équation. Il suffit donc de multiplier la première équation par moins deux ou par moins trois, puis d’additionner les équations. Essayons par exemple d’éliminer la variable x : on multiplie donc la première équation par −2. On obtient :

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

En additionnant ces deux équations, on obtient :

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Nous avons déjà une première inconnue. Substituons-le dans une équation : on peut le substituer à nouveau dans la toute première équation :

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Nous avons ainsi la solution du système : x = 9 et y = −14.

Deuxième exemple

Résous le système de deux équations à deux inconnues suivant :

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Ça a l’air compliqué, mais on y arrivera. Il faut avant tout développer les parenthèses, sinon on n’avance pas beaucoup.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

On transforme maintenant les équations en une forme plus pratique : on regroupe les termes contenant les inconnues à gauche et les termes constants à droite, puis on simplifie autant que possible.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

À partir de ces équations peu avenantes, nous avons obtenu un système tout à fait exploitable, auquel on peut appliquer l’une des méthodes classiques. On peut par exemple multiplier la seconde équation par deux et l’additionner à la première. En multipliant la seconde équation par deux, on obtient :

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Additionnons maintenant les deux équations selon la méthode classique par combinaison linéaire :

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Très bien, nous connaissons déjà un résultat. On le substitue dans l’une des équations pour calculer y. Par exemple, substituons-le dans l’équation 2x− 3y = −13 ; on obtient :

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Nous avons maintenant la solution complète du système : il admet pour solution x = 4 et y = 7.

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