Halmazok
A halmazt elemek összességének tekinthetjük. Minden halmaz meghatározott számú elemet tartalmaz, ez lehet véges vagy végtelen. Az is előfordulhat, hogy egyetlen elemet sem tartalmaz, ilyenkor üres halmazról beszélünk. A halmazt általában nagy nyomtatott betűvel jelöljük, például M-mel, a halmaz elemeit pedig kisbetűvel, például m-mel.
Mi az a halmaz
A halmaz a matematika egyik alapfogalma, amelyen keresztül rengeteg más dolgot definiálunk, ezért érdemes már az elején tisztázni, mi is az a halmaz, hogy később ne tapogatózz a tanulásban.
A halmaz tehát tetszőleges elemek valamilyen összessége. A matematikában leggyakrabban számhalmazokkal dolgozunk, vagyis olyan halmazokkal, amelyeknek az elemei számok. A halmaz klasszikus matematikai felírása ilyen:
Ezzel leírtunk egy „M” nevű halmazt, amelynek három eleme van: az egy, a kettő és a három. A halmazokat mindig kapcsos zárójelbe írjuk, és gyakorlatilag valahányszor kapcsos zárójelet látsz, valamilyen halmazról van szó.
Mire használhatjuk a halmazokat? A halmazok gyakran megmondják, hogy milyen elemek közül választhatunk. A mindennapi életben mondhatnád például ezt: „Zsófi, játsszunk egy játékot, jó? Gondolj egy számra egytől ötig.” Ezzel kijelöltél Zsófinak egy számtartományt, amelyből választhat. A matematikában erre egy halmazt használnál:
Aztán mondhatnád Zsófinak, hogy „Zsófi, játsszunk egy játékot, jó? Gondolj egy olyan számra, amely benne van az L halmazban.” Ettől a játék biztosan rögtön szórakoztatóbb lenne. A matematikában a ∈ jellel írjuk le, hogy egy elem a halmazhoz tartozik, ha pedig nem tartozik hozzá, a ∉ jelet használjuk. Ha tehát azt akarjuk mondani, hogy az egy az L halmazhoz tartozik, a hét viszont nem, így írnánk: 1 ∈ L és 7 ∉ L.
A halmaz természetesen lehet üres is, erre szolgál vagy a P = {} felírás, vagy egyszerűbben a P = ∅. Vigyázz, mindkét felírás azt jelenti, hogy „üres halmaz”, ha viszont így írnád: P = {∅}, akkor olyan halmazt írnál le, amelynek az eleme az üres halmaz. Ez nem ugyanaz, mint az üres halmaz.
Rendezetlenség és ismétlődés
A halmaz elemeiről nem mondjuk, hogy valamilyen sorrendben állnak. A halmaz az elemek rendezetlen összessége. Ha van két halmazunk, A = {1, 2, 3} és B = {3, 2, 1}, akkor azt mondjuk, hogy megegyeznek. Az elemek sorrendje a halmazban egyszerűen nem számít.
Az ismétlődő elemek sem érdekelnek minket. Ha egy halmaz ugyanabból az elemből (ugyanabból a számból) többet is tartalmaz, mindig csak az adott elem egyetlen előfordulását vesszük figyelembe. Ha például van két halmazunk, A = {1, 1, 2, 2, 2} és B = {2, 1}, akkor ezeket is azonosnak tekintjük. Nem baj, hogy az A halmaz „több” elemet tartalmaz, mert kétszer vagy háromszor szerepelteti ugyanazt az elemet. A halmazokkal való számolás során az ilyen megismételt elemeket egyszerűen kiszűrjük.
Méret és egyenlőség
Definiálhatjuk a halmaz méretének fogalmát, ez a halmazban lévő elemek száma. Az előző példa A = {1, 1, 2, 2, 2} és B = {2, 1} halmazára tehát igaz, hogy az A halmaz mérete kettő, de a B halmaz mérete is kettő, mert az elemek megszámlálásakor sem érdekelnek minket az ismétlődő elemek. A halmaz méretét függőleges vonalak közé írjuk: |A| = |B| = 2.
Ahogy valószínűleg már megértetted, két halmaz akkor egyenlő, ha mindkettőnek ugyanazok az elemei. Néhány példa:
Lényeges tulajdonság, hogy a halmaz elemként újra tartalmazhat egy halmazt. Példa: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Fontos észrevenni, hogy a C halmaz háromelemű, nem hatelemű. A C halmaz három elemet tartalmaz: az egyet, a kettőt és egy halmazt. A 3, 4, 5 és 6 elemeket a belső halmaz tartalmazza, nem a C halmaz. Tehát |C| = 3. Egy bonyolultabb példa:
Hány elemet tartalmaz a D halmaz? Három elemet tartalmaz, ezek:
A halmaz lehet véges vagy végtelen. Eddig csak véges halmazokat említettünk. Végtelen halmaz például az összes szám halmaza.
Részhalmaz
Legyen két halmazunk: A = {1, 2} és B = {1, 2, 3}. Ezek a halmazok különbözők, mert nem ugyanazok az elemeik, a B halmaz nagyobb. Mégis biztosan észrevetted, hogy a B halmaz pontosan ugyanazokat az elemeket tartalmazza, mint az A, csak van még egy további eleme, a 3. Ilyenkor azt mondhatjuk, hogy A részhalmaza B-nek.
Ha A részhalmaza B-nek, akkor az A halmaz minden elemének benne kell lennie a B halmazban is. A részhalmaz-viszony reláció, és a ⊆ szimbólummal írjuk. Formális definíció:
Általában feltételezzük, hogy az A és a B halmaz lehet azonos is, és akkor is igaz marad, hogy A ⊆ B. Ha a részhalmaz szigorú változatát akarjuk kifejezni, másik szimbólumot használunk: ⊂. Ekkor ha A ⊂ B, akkor a B halmaznak nagyobbnak kell lennie (ha véges), tartalmaznia kell olyan elemet, amelyet az A halmaz nem tartalmaz. Az ilyen halmazt „valódi részhalmaznak” nevezzük. Tehát ha A ⊂ B, akkor A valódi részhalmaza B-nek. A valódi részhalmaz definíciója:
A definíció ugyanaz, mint a hagyományos részhalmaz esetében, csak a két halmaz nem lehet egyenlő. Néhány példa:
A részhalmaz tulajdonságai:
- A ⊆ A: a halmaz mindig részhalmaza önmagának.
- A ⊄ A: a halmaz sosem valódi részhalmaza önmagának.
- ∅ ⊆ A: az üres halmaz bármely halmaznak részhalmaza.
- A ⊄ ∅: az üres halmaznak nincs valódi részhalmaza.
A részhalmazok segítségével felírhatjuk a halmazok egyenlőségét is:
Ha a két halmaz azonos, akkor mindkettő részhalmaza a másiknak.
A részhalmazt „tartalmazásnak” (inklúziónak) is nevezhetjük.
Hatványhalmaz
A hatványhalmaz egy adott halmaz összes részhalmazának halmaza. Általában vagy P(M)-mel, vagy 2M-nel jelöljük.
Példa: M = {1, 2, 3}. Melyek az összes részhalmazai? Biztosan az üres részhalmaz és maga az M halmaz. Továbbá: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Ezek a halmazok együtt alkotják az M halmaz hatványhalmazát. Felírva: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.
Mivel az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, és az M mindig részhalmaza az M-nek, mindig igaz lesz, hogy ∅ ∈ P(M) és M ∈ P(M).
Hogyan írjunk fel egy halmazt
Az egyik módot már említettük: az elemek egyszerű felsorolása. Ehhez kapcsos zárójelet használunk: M = {1, 2, 3} vagy N = {a, b, c, d} és így tovább. Ha végtelen halmazt írunk fel, használhatunk három pontot, ha világos, hogyan folytatódik az elemek sora: M = {1, 2, 3, …}
A halmaz felírásának fő módja a halmaz jellemző tulajdonsága. Általánosan így nézne ki a felírás: {x ∈ X | P(x)}, ahol X az a halmaz, amelyből az elemeket választjuk, P(x) pedig valamilyen formula, amely meghatározza a halmaz elemeit. A formula felírható tisztán matematikai jelekkel vagy szavakkal is. A „|” helyett pontosvesszőt („;”) is használnak.
Például: „legyen az M halmaz az összes olyan szám, amely a hónap valamelyik napját jelöli”. Egy hónapnak legfeljebb 31 napja van, tehát egy ilyen halmaznak 31 eleme lenne, 1-től 31-ig. Felírhatnánk három ponttal így: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Ugyanennek a halmaznak egy másik felírása lehetne ez: {x ∈ ℤ | x a hónap egy napjának sorszáma}, ahol a ℤ az egész számok halmazát jelöli.
Egy inkább matematikai példa: „legyen a P halmaz az összes olyan pozitív szám, amely osztható öttel”. Ekkor a halmaz így nézne ki: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}
Írjuk fel matematikailag a tíznél kisebb természetes számok T halmazát: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Ez a felírás azt mondja: a T halmaz olyan x elemekből áll, amelyeket a természetes számok halmazából veszünk, és amelyekre teljesül, hogy kisebbek 10-nél. Nézzük meg tehát a természetes számokat, és csak azokat tartsuk meg, amelyek kisebbek tíznél: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. (A magyar iskolai szóhasználatban a 0 is természetes szám, ezért szerepel a halmazban.) És ennyi az egész.
Még egy példa: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Definiáltunk egy Y halmazt, amelynek elemei az egész számok közül kerülnek ki, és az egyetlen feltétel, amelyet x-nek teljesítenie kell, hogy nem lehet nulla. Az Y halmaz tehát az összes egész számot tartalmazza a nulla kivételével.
Még egy példa: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. A G halmaz olyan x elemeket tartalmaz, amelyeket a valós számok közül veszünk, és minden x elemre teljesülnie kell, hogy ha önmagával megszorozzuk, ismét az x számot kapjuk. Például kipróbálhatjuk az 5-öt. A definíció szerint ennek az egyenlőségnek kellene teljesülnie: 5 · 5 = 5. Ez nyilvánvalóan nem igaz, tehát az 5 nem eleme a G halmaznak. Próbáljuk ki az egyet: 1 · 1 = 1. Erre ez egyértelműen igaz, tehát az egy eleme a G halmaznak. A második, egyúttal utolsó elem a nulla lesz. Egyetlen másik számra sem teljesül. Felírhatjuk tehát: G = {0, 1}.
És az utolsó példa. Írok valami bonyolultabbat, hogy lásd, a jellemző tulajdonság lehet összetett is:
A halmazt a gyakorlatban leggyakrabban jellemző tulajdonsággal adjuk meg, és elmondható, hogy a matematika fogalmainak igen nagy részét halmazok segítségével definiáljuk. Ha például vesszük az intervallumot, mondhatjuk, hogy az ]a; b[ intervallum az az I halmaz, amelyre igaz:
Ezek a valós számok halmazának azok az elemei, amelyek nagyobbak a-nál és kisebbek b-nél, és pontosan ezt fejezi ki az intervallum.
További források
Fejezetek: Halmazok, Halmazműveletek, Megszámlálható halmazok, A halmazelmélet paradoxonai
