Metode penjumlahan cepat Trachtenberg
Metode penjumlahan Trachtenberg adalah cara untuk menjumlahkan beberapa bilangan dengan cepat, lalu memeriksa dengan cara lain apakah perhitungan kita benar. Metode ini ditemukan oleh matematikawan Rusia Jakow Trachtenberg. Kita akan mempelajarinya melalui contoh. Mari kita jumlahkan tiga bilangan berikut:
Pertama, bilangan-bilangan itu kita tulis bersusun seperti ini:
Sekarang kita mulai menjumlahkan kolom, dimulai dari kanan. Yang perlu kita perhatikan adalah apakah jumlahnya lebih dari atau sama dengan 11. Pada langkah pertama kita jumlahkan kolom terakhir, yaitu 1 + 5 + 2 = 8. Hasil ini kurang dari 11, jadi bilangannya cukup kita tulis di bawah garis:
Pada langkah kedua kita jumlahkan kolom kedua dari kanan, yaitu 5 + 7 + 6 = 18. Menurut metode Trachtenberg, setiap kali jumlahnya lebih dari atau sama dengan 11, kita kurangi jumlah itu dengan 11 dan kita ingat berapa kali kita melakukannya. Karena 18 lebih dari 11, kita hitung 18 − 11 = 7. Angka tujuh kita tulis di bawah garis, dan karena kita mengurangkan 11 satu kali, hal itu kita catat satu baris di bawahnya:
Jika kita kembali ke kolom sebelumnya, yaitu kolom paling kanan, terlihat bahwa jumlahnya delapan, sehingga kita sama sekali tidak perlu mengurangkan 11. Jadi, di tabel kita tambahkan angka nol:
Kita lanjutkan ke kolom ketiga dari kanan dan menjumlahkan 5 + 3 + 2 = 10. Jangan kaget dengan bilangan sepuluh. Bilangan ini kurang dari 11, jadi kita tulis di bawah garis bersama angka nol, karena kita tidak perlu mengurangkan 11:
Sekarang kita jumlahkan kolom keempat dari kanan, yaitu kolom pertama. Terlihat bahwa 9 + 7 = 16, yang sudah lebih dari 11. Jadi, kita hitung 16 − 11 = 5, kita ingat bahwa kita sudah sekali mengurangkan 11, lalu kita lanjutkan dengan bilangan 5 dan menjumlahkannya dengan bilangan di baris ketiga, yaitu 5 + 9 = 14. Bilangan empat belas juga lebih dari 11, jadi kita hitung 14 − 11 = 3. Hasil ini kita tulis di bawah garis bersama keterangan bahwa kita harus mengurangkan sebelas bahkan dua kali:
Pada hasil di bawah garis kita tambahkan lagi satu kolom berisi dua angka nol. Kolom ini nanti akan berguna:
Cara memperoleh hasil dengan metode Trachtenberg
Kita buat satu garis mendatar lagi, lalu kita jumlahkan kedua baris hasil antara. Pertama kita jumlahkan 8 + 0 = 8 dan hasilnya kita tulis di bawah garis:
Mulai sekarang langkahnya sedikit lebih rumit: kita harus menjumlahkan bilangan-bilangan yang membentuk huruf “L”. Jadi, kita jumlahkan dua bilangan dari kolom kedua terakhir dan menambahkan bilangan kedua dari kolom sebelumnya, yaitu 7 + 1 + 0 = 8:
Selanjutnya kita jumlahkan 10 + 0 + 1 = 11. Sekarang kita lakukan seperti pada penjumlahan biasa: kita tulis hanya angka terakhir, yaitu 1, dan satu puluhan disimpan untuk langkah berikutnya.
Pada langkah berikutnya kita jumlahkan 3 + 2 + 0 + 1 = 6. Angka satu di akhir adalah satu yang disimpan dari langkah sebelumnya (untuk setiap puluhan yang disimpan, di sini kita tambahkan satu).
Sekarang akhirnya kita pakai kolom berisi dua angka nol tadi. Kolom itu ada semata-mata agar kita tidak lupa melakukan penjumlahan terakhir 0 + 0 + 2 = 2.
Inilah hasil yang kita peroleh dengan metode Trachtenberg. Jadi,
Pemeriksaan hasil antara
Keunggulan metode Trachtenberg adalah kita dapat memeriksa dengan relatif mudah apakah perhitungan kita benar, tanpa mengulang seluruh perhitungan. Trachtenberg menemukan cara untuk memeriksa hasil antara dan hasil akhir dengan cara yang sama sekali berbeda. Jadi, jika kamu menghitung jumlah dengan metode Trachtenberg dan sekaligus melakukan pemeriksaan, kamu bisa cukup yakin bahwa perhitunganmu benar. Mari kita periksa apakah hasil kita benar.
Seluruh perhitungan kita dapat dibagi menjadi tiga bagian. Ada bilangan yang dijumlahkan, hasil antara, dan hasil akhir:
Pada tahap pertama kita periksa apakah hasil antara sudah kita hitung dengan benar. Untuk itu kita harus mencari akar digital setiap kolom. Akar digital suatu bilangan diperoleh dengan menjumlahkan semua angka bilangan tersebut. Misalnya, akar digital bilangan 456 diperoleh dengan menjumlahkan 4 + 5 + 6 = 15. Jika hasilnya lebih dari 9, kita jumlahkan lagi angka-angkanya, yaitu kita hitung 1 + 5 = 6. Jadi, akar digital bilangan 456 sama dengan 6.
Sekarang kita kembali ke bilangan yang dijumlahkan dan menghitung akar digital kolom terakhir, yaitu akar digital bilangan 152. Kita hitung 1 + 5 + 2 = 8.
Selanjutnya kita hitung akar digital kolom kedua terakhir, yaitu bilangan 576: 5 + 7 + 6 = 18, lalu 1 + 8 = 9.
Untuk kolom ketiga dari kanan diperoleh 5 + 3 + 2 = 10. Karena bilangan ini terdiri atas dua angka, kita hitung 1 + 0 = 1:
dan untuk kolom pertama diperoleh 9 + 7 + 9 = 25, lalu 2 + 5 = 7:
Akar-akar digital yang diperoleh adalah 7198. Sekarang kita perhatikan hasil antara:
Baris kedua kita salin dan kita tambahkan di bagian bawah, sehingga baris kedua muncul dua kali:
Sekarang kita lakukan hal yang sama seperti pada bilangan yang dijumlahkan. Dari setiap kolom kita bentuk bilangan dan kita hitung akar digitalnya. Kita bisa mulai lagi dari belakang, sehingga diperoleh 8 + 0 + 0 = 8, kolom berikutnya memberi 7 + 1 + 1 = 9, berikutnya 10 + 0 + 0 = 10, lalu 1 + 0 = 1, dan akhirnya 3 + 2 + 2 = 7:
Sekarang kita bandingkan hasil akar digitalnya. Akar digital bilangan yang dijumlahkan menghasilkan bilangan 7198, sama seperti akar digital hasil antara. Jadi, perhitungan kita benar. Jika hasilnya berbeda, berarti ada kesalahan di suatu tempat, entah saat pemeriksaan atau saat penjumlahan itu sendiri.
Pemeriksaan hasil akhir
Sekarang memeriksa apakah hasil akhir sudah kita hitung dengan benar menjadi mudah. Kita hitung akar digital hasil akhir dan akar digital dari akar-akar digital tadi, dan keduanya harus sama. Jadi, kita ambil hasil akhir kita, 26.188, lalu kita hitung akar digitalnya:
Sekarang kita hitung akar digital dari akar-akar digital yang sudah kita peroleh, yaitu akar digital bilangan 7198:
Terlihat bahwa kedua akar digital sama dengan tujuh. Jadi, pemeriksaan berhasil dan perhitungan kita benar!