트라흐텐베르크의 빠른 덧셈법
트라흐텐베르크 덧셈법은 여러 수를 빠르게 더한 다음, 다른 방법으로 계산이 맞았는지 확인하는 방법이다. 러시아의 수학자 야코프 트라흐텐베르크가 고안했다. 예를 들어 다음 세 수를 더해 보자.
먼저 수를 다음과 같이 세로로 쓴다.
이제 오른쪽 열부터 더해 나간다. 이때 합이 11 이상인지를 살핀다. 첫 단계에서는 맨 오른쪽 열을 더한다. 즉 1 + 5 + 2 = 8을 계산한다. 이 결과는 11보다 작으므로 가로선 아래에 그대로 쓴다.
둘째 단계에서는 오른쪽에서 둘째 열을 더한다. 즉 5 + 7 + 6 = 18을 계산한다. 트라흐텐베르크의 방법에서는 합이 11 이상이 될 때마다 합에서 11을 빼고, 몇 번 뺐는지를 기억해 둔다. 18은 11보다 크므로 18 − 11 = 7을 계산한다. 7을 가로선 아래에 쓰고, 11을 한 번 뺐으므로 그 아래 줄에 1을 적어 둔다.
맨 오른쪽의 앞 열로 돌아가 보면 합이 8이었으므로 11을 한 번도 빼지 않았다. 따라서 표에 0을 써 넣는다.
이어서 오른쪽에서 셋째 열을 더하면 5 + 3 + 2 = 10이다. 10이라고 놀랄 필요는 없다. 11보다 작은 수이므로 가로선 아래에 그대로 쓰고, 11을 빼지 않았으므로 그 아래에 0을 쓴다.
이제 오른쪽에서 넷째 열, 즉 첫째 열을 더한다. 9 + 7 = 16은 이미 11보다 크다. 따라서 16 − 11 = 5를 계산하고, 11을 한 번 뺐다는 것을 기억한다. 그다음 이 5에 셋째 줄의 수를 더해 5 + 9 = 14를 계산한다. 14도 11보다 크므로 14 − 11 = 3을 계산한다. 이 결과를 가로선 아래에 쓰고, 11을 두 번이나 뺐다는 것도 함께 적는다.
가로선 아래의 결과에 0 두 개로 된 열을 하나 더 붙인다. 이 열은 나중에 쓸모가 있다.
트라흐텐베르크 방법으로 답 구하기
가로선을 하나 더 긋고, 중간 계산 결과의 두 줄을 더한다. 먼저 8 + 0 = 8을 계산해 가로선 아래에 쓴다.
여기서부터는 조금 더 복잡하게, 글자 “L” 모양으로 놓인 수들을 더해야 한다. 오른쪽에서 둘째 열의 두 수에 그 오른쪽 열의 둘째 수를 더한다. 즉 7 + 1 + 0 = 8을 계산한다.
다음으로 10 + 0 + 1 = 11을 계산한다. 이제부터는 보통의 덧셈처럼 한다. 일의 자리 숫자 1만 쓰고, 십의 자리는 다음 열로 받아올린다.
다음 열에서는 3 + 2 + 0 + 1 = 6을 계산한다. 마지막의 1은 앞 열에서 받아올린 1이다(받아올린 10마다 여기서 1을 더한다).
드디어 0 두 개로 된 열을 쓸 차례이다. 이 열은 마지막 덧셈 0 + 0 + 2 = 2를 빠뜨리지 않으려고 붙여 둔 것이다.
이것이 트라흐텐베르크 방법으로 구한 답이다. 즉 다음과 같다.
중간 계산 결과의 검산
트라흐텐베르크 방법의 장점은 계산 전체를 다시 하지 않고도 계산이 맞았는지 비교적 쉽게 확인할 수 있다는 것이다. 트라흐텐베르크는 중간 계산 결과와 최종 답을 전혀 다른 방법으로 확인하는 방법을 찾아냈다. 따라서 트라흐텐베르크 방법으로 합을 구하고 검산까지 하면 계산이 맞았다고 꽤 확신할 수 있다. 이제 앞에서 구한 답이 맞는지 확인해 보자.
계산 전체는 세 부분으로 나눌 수 있다. 더하는 수, 중간 계산 결과, 답이다.
첫 단계에서는 중간 계산 결과가 맞는지 확인한다. 이를 위해 각 열의 수근을 구한다. 수의 수근은 그 수의 각 자리 숫자를 모두 더해서 구한다. 예를 들어 456의 수근은 4 + 5 + 6 = 15를 계산해서 구한다. 결과가 9보다 크면 한 번 더 각 자리 숫자를 더한다. 즉 1 + 5 = 6을 계산한다. 따라서 456의 수근은 6이다.
이제 더하는 수로 돌아가 맨 오른쪽 열의 수근을 구한다. 즉 152의 수근을 구하면 1 + 5 + 2 = 8이다.
다음으로 오른쪽에서 둘째 열, 즉 576의 수근을 구하면 5 + 7 + 6 = 18이고, 다시 1 + 8 = 9를 얻는다.
오른쪽에서 셋째 열은 5 + 3 + 2 = 10이다. 두 자리 수이므로 1 + 0 = 1을 얻는다.
첫째 열은 9 + 7 + 9 = 25이고, 다시 2 + 5 = 7을 얻는다.
이렇게 구한 수근을 늘어놓으면 7198이다. 이제 중간 계산 결과를 살펴보자.
둘째 줄을 복사해서 맨 아래에 붙인다. 즉 둘째 줄이 두 번 들어가게 한다.
이제 더하는 수에서와 똑같이 한다. 각 열로 수를 만들고 그 수근을 구한다. 이번에도 오른쪽부터 시작하면 8 + 0 + 0 = 8이고, 다음 열은 7 + 1 + 1 = 9, 그다음 열은 10 + 0 + 0 = 10에서 다시 1 + 0 = 1, 마지막 열은 3 + 2 + 2 = 7이다.
이제 수근의 결과를 비교한다. 더하는 수의 수근은 7198이고, 중간 계산 결과의 수근도 7198이다. 따라서 계산이 맞았다. 두 결과가 다르다면 어딘가에서 실수를 한 것이다. 검산하다가 틀렸거나 덧셈 자체를 틀린 것이다.
답의 검산
여기까지 왔으면 답을 맞게 구했는지 확인하는 것은 간단하다. 답의 수근과 앞에서 구한 수근들의 수근을 구하면, 두 값이 같아야 한다. 즉 답 26,188의 수근을 구한다.
이제 앞에서 구한 수근들의 수근, 즉 7198의 수근을 구한다.
두 수근이 모두 7이므로 검산 결과가 맞다. 계산이 맞았다!