Метод на Трахтенберг за бързо събиране
Методът на Трахтенберг за събиране е начин бързо да съберем няколко числа и след това по друг начин да проверим дали сме пресметнали правилно. Методът е измислен от руския математик Яков Трахтенберг. Ще го покажем на пример. Ще опитаме да съберем тези три числа:
Първо записваме числата едно под друго така:
Сега започваме да събираме колоните, като тръгваме отдясно. Интересува ни дали сборът е по-голям или равен на 11. В първата стъпка събираме последната колона, т.е. 1 + 5 + 2 = 8. Този резултат е по-малък от 11, затова просто го записваме под чертата:
Във втората стъпка събираме втората колона отдясно, т.е. 5 + 7 + 6 = 18. Методът на Трахтенберг казва, че винаги когато сборът е по-голям или равен на 11, изваждаме от него 11 и запомняме колко пъти сме го направили. Тъй като 18 е по-голямо от 11, изваждаме 18 − 11 = 7. Числото седем записваме под чертата и тъй като сме изваждали 11 веднъж, отбелязваме това един ред по-долу:
Когато се върнем още веднъж към предишната колона най-вдясно, виждаме, че сборът е бил равен на осем и значи не ни се е налагало да изваждаме 11 нито веднъж. Допълваме в таблицата числото нула:
Продължаваме с третата колона отдясно и събираме 5 + 3 + 2 = 10. Числото десет не ни плаши, то е по-малко от 11, затова го записваме под чертата заедно с нула, защото не ни се е налагало да изваждаме 11:
А сега събираме четвъртата колона отдясно, т.е. първата колона. Виждаме, че 9 + 7 = 16, което вече е по-голямо от 11. Изваждаме 16 − 11 = 5, запомняме, че вече веднъж сме изваждали 11, и продължаваме с числото 5, което събираме с числото от третия ред, т.е. пресмятаме 5 + 9 = 14. И числото четиринадесет е по-голямо от 11, затова изваждаме 14 − 11 = 3. Този резултат записваме под чертата заедно с информацията, че ни се е наложило да извадим 11 дори два пъти:
Към резултата под чертата добавяме още една колона с две нули, по-късно ще ни потрябва:
Как да получим резултата с метода на Трахтенберг
Чертаем още една хоризонтална черта и ще съберем двата реда с междинни резултати. Първо събираме 8 + 0 = 8 и резултата записваме под чертата:
От този момент нататък трябва да действаме по-сложно и да събираме числа във формата на латинската буква „L“. Събираме двете числа от предпоследната колона и към тях прибавяме второто число от предишната колона, т.е. събираме 7 + 1 + 0 = 8:
След това събираме 10 + 0 + 1 = 11. Сега действаме както при обикновеното събиране: записваме само последната цифра 1, а десетицата преминава в следващата стъпка.
В следващата стъпка събираме 3 + 2 + 0 + 1 = 6, като единицата в края е единицата, която в предишната стъпка е преминала нататък (т.е. за всяка десетица, която отива нататък, тук прибавяме единица).
И сега най-накрая използваме онази колона с двете нули – тя е тук само за да не забравим да направим последното събиране 0 + 0 + 2 = 2.
Това е нашият резултат, получен с метода на Трахтенберг. Тоест
Проверка на междинните резултати
Предимството на метода на Трахтенберг е, че можем сравнително лесно да проверим дали сме пресметнали правилно, без да правим цялото пресмятане отново. Трахтенберг е намерил начин да се проверят междинните резултати и крайният резултат по съвсем друг начин. Ако пресметнеш сбора с метода на Трахтенберг и освен това направиш проверка, можеш да си доста сигурен, че си пресметнал правилно. Нека опитаме да проверим, че нашият резултат е верен.
Цялото ни пресмятане можем да разделим на три части. Имаме събираеми, междинни резултати и резултат:
В първата фаза проверяваме дали сме пресметнали правилно междинните резултати. За целта трябва да намерим цифровия корен на колоните. Цифровия корен на числото получаваме, като съберем всички цифри на числото. Например цифровия корен на числото 456 получаваме, като съберем 4 + 5 + 6 = 15. Ако резултатът е по-голям от 9, повтаряме, т.е. пресмятаме още 1 + 5 = 6. Цифровият корен на числото 456 е равен на 6.
Сега се връщаме към събираемите и пресмятаме цифровия корен на последната колона, т.е. на числото 152, пресмятаме 1 + 5 + 2 = 8.
След това пресмятаме цифровия корен на предпоследната колона, т.е. на числото 576, което е 5 + 7 + 6 = 18, а после получаваме 1 + 8 = 9.
За третата колона отдясно получаваме 5 + 3 + 2 = 10 и тъй като числото има две цифри, получаваме 1 + 0 = 1:
а за първата колона имаме 9 + 7 + 9 = 25 и после 2 + 5 = 7:
Получените цифрови корени образуват числото 7198. Сега да погледнем междинните резултати:
Копираме втория ред и го вмъкваме в края, т.е. ще имаме втория ред два пъти:
Сега правим същото като със събираемите. От всяка колона образуваме число и пресмятаме цифровия му корен. Отново можем да започнем от края, така че получаваме 8 + 0 + 0 = 8, следващата колона ни дава 7 + 1 + 1 = 9, следващата 10 + 0 + 0 = 10 и после 1 + 0 = 1 и накрая 3 + 2 + 2 = 7:
В този момент сравняваме получените цифрови корени. Цифровите корени на събираемите ни дадоха числото 7198, също като цифровите корени на междинните резултати – значи сме пресметнали правилно. Ако тези резултати се различават, значи някъде сме допуснали грешка. Или по време на проверката, или по време на самото събиране.
Проверка на резултата
Да проверим, че сме пресметнали правилно резултата, вече е лесно. Пресмятаме цифровия корен на резултата и цифровия корен на цифровите корени и трябва да излязат еднакви. Тоест вземаме нашия резултат 26 188 и пресмятаме цифровия му корен:
Сега пресмятаме цифровия корен на нашите получени цифрови корени, т.е. на числото 7198:
Виждаме, че и двата цифрови корена са равни на седем, значи проверката е минала успешно и сме пресметнали правилно!