✖

Mana yang lebih banyak, bilangan genap atau bilangan ganjil?

Menurutmu, bilangan mana yang lebih banyak? Bilangan genap atau bilangan ganjil? Atau sama banyak? Bagaimana kita bisa menilainya? Lalu bagaimana dengan bilangan lain? Mana yang lebih banyak, bilangan genap atau bilangan asli? Bilangan asli atau bilangan rasional? Pertanyaan ini tidak mudah, karena semua bilangan tersebut banyaknya tak hingga. Meskipun begitu, kita tetap bisa membandingkannya dan menentukan bilangan mana yang lebih banyak dan mana yang lebih sedikit.

Mari kita coba dengan himpunan bilangan yang kecil. Bayangkan dua himpunan bilangan: bilangan biru dan bilangan merah:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Dapatkah kita mengatakan bilangan mana yang lebih banyak? Yang merah atau yang biru? Jelas terlihat bahwa… Apa? Kamu buta warna dan tidak bisa melihatnya dengan jelas? Baiklah, mulai sekarang bilangan merah juga akan kita tampilkan sebagai persegi:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Baik, sekarang jelas terlihat bahwa bilangan biru lebih banyak daripada bilangan merah. Hal ini mudah karena kita bekerja dengan himpunan bilangan berhingga, sehingga bilangan-bilangannya dapat kita hitung. Ada enam bilangan biru dan hanya tiga bilangan merah. Himpunan tak hingga tidak semudah itu, karena anggotanya tidak bisa kita hitung. Jadi, mari kita jawab pertanyaan pada judul: mana yang lebih banyak, bilangan genap atau bilangan ganjil? Agar sederhana, kita batasi pada bilangan positif saja. Bayangkan sebuah karung berisi semua bilangan ganjil dan sebuah karung berisi semua bilangan genap. Karung mana yang lebih besar?

1
3
5
7
9
11
13
15
…
2
4
6
8
10
12
14
16
…

Membayangkan bilangan yang banyaknya tak hingga saja tidak mudah, apalagi menghitungnya. Adakah cara lain untuk membandingkan ukuran dua himpunan?

Membandingkan dua himpunan berhingga

Bayangkan kita punya karung berisi pengantin pria dan karung berisi pengantin wanita. Jika setiap pengantin pria mendapat satu pengantin wanita dan setiap pengantin wanita mendapat satu pengantin pria, kita dapat mengatakan bahwa banyaknya pengantin pria sama dengan banyaknya pengantin wanita:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Lihat? Setiap pengantin wanita di baris pertama mempunyai suaminya sendiri di baris kedua, dan sebaliknya, setiap suami mempunyai istrinya sendiri. Namun, bisa juga terjadi hal lain: setiap pengantin wanita mempunyai suami, tetapi tidak setiap suami mempunyai pengantin wanita:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Setiap istri mempunyai suami, tetapi seorang suami tertinggal sendirian dengan sedih tanpa istri. Karena ada satu suami yang berlebih, kita dapat mengatakan bahwa suami lebih banyak daripada istri. Begitu pula jika ada satu pengantin wanita yang berlebih

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

kita dapat mengatakan bahwa pengantin wanita lebih banyak daripada suami.

Membandingkan dua himpunan tak hingga

Dapatkah cara ini kita gunakan untuk membandingkan dua himpunan tak hingga? Dapatkah setiap bilangan ganjil kita pasangkan dengan suatu bilangan genap dan setiap bilangan genap dengan suatu bilangan ganjil, tanpa memakai satu bilangan pun lebih dari sekali? Bisa! Setiap bilangan ganjil n dapat kita pasangkan dengan bilangan genap n + 1. Jadi, bilangan 5 kita pasangkan dengan bilangan 5 + 1, bilangan 149 dengan bilangan 150, dan seterusnya. Pemasangan ini diperlihatkan oleh animasi berikut:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Untuk setiap bilangan ganjil merah ada pasangan bilangan genap biru yang unik, dan untuk setiap bilangan genap biru ada pasangan bilangan ganjil merah yang unik. Kita berhasil memasangkan semua bilangan ganjil dengan semua bilangan genap. Artinya, banyaknya bilangan genap sama dengan banyaknya bilangan ganjil!

Baiklah, hasil ini tidak terlalu mengejutkan, bukan? Mari kita bandingkan himpunan bilangan yang lain: semua bilangan asli dan bilangan genap. Di sini hasilnya akan lebih mengejutkan.

Mana yang lebih banyak, bilangan asli atau bilangan genap?

Bilangan mana yang lebih banyak? Bilangan asli atau bilangan genap?

1
2
3
4
5
6
7
8
…
 
2
 
4
 
6
 
8
…

Tampaknya jelas bahwa bilangan asli memuat semua bilangan genap. Selain itu, bilangan asli masih memuat bilangan lain, yaitu bilangan ganjil. Jadi, bilangan asli pasti lebih banyak, bukan? Bilangan asli kan memuat bilangan dua kali lebih banyak!

Andai saja hidup semudah itu!

Yang kita perhatikan bukanlah apakah suatu himpunan bilangan memuat bilangan tambahan. Yang kita perhatikan adalah apakah bilangan dari dua himpunan yang berbeda dapat dipasangkan. Dapatkah setiap bilangan genap kita pasangkan dengan setiap bilangan asli, meskipun bilangan asli lebih banyak? Ternyata bisa.

Setiap bilangan asli p dengan mudah dapat dipasangkan dengan bilangan genap 2 · p, dan sebaliknya, setiap bilangan genap n dapat dipasangkan dengan bilangan asli n / 2. Jadi, bilangan asli 5 kita pasangkan dengan bilangan genap 10, bilangan genap 14 kita pasangkan dengan bilangan asli 7, dan seterusnya. Pemasangan untuk beberapa bilangan pertama ditunjukkan oleh animasi berikut:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Tiba-tiba, untuk setiap bilangan asli ada bilangan genap yang unik, dan untuk setiap bilangan genap ada bilangan asli yang unik! Tidak masalah bahwa bilangan asli lebih banyak. Kedua jenis bilangan itu banyaknya tak hingga dan tidak akan pernah habis. Dari sudut pandang kita, himpunan bilangan genap sama besarnya dengan himpunan bilangan asli! 😱

Memang agak berlawanan dengan intuisi, tetapi begitulah kenyataannya.

Mana yang lebih banyak, bilangan asli atau bilangan rasional?

Bilangan rasional adalah pecahan. Semua bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0, adalah bilangan rasional. Misalnya, ½, ¾, atau 8 adalah bilangan rasional, tetapi π bukan bilangan rasional. Bilangan rasional jauh lebih banyak daripada bilangan asli. Misalnya, di antara bilangan 2 dan 4 hanya ada satu bilangan bulat, yaitu 3, tetapi ada tak hingga banyaknya bilangan rasional. Bahkan di antara bilangan 0,001 dan 0,002 pun ada tak hingga banyaknya bilangan rasional. Begitu banyak bilangan rasional!

Jadi, kita akan menduga bahwa himpunan bilangan rasional pasti lebih besar daripada himpunan bilangan asli. Namun, kita semua juga sudah curiga bahwa ada jebakan di sini. Baiklah, mari kita coba memasangkan bilangan rasional dengan bilangan asli. Pertama, kita tulis bilangan rasional dalam tabel seperti ini:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Polanya seharusnya jelas: semua pecahan di baris pertama mempunyai pembilang (di atas garis pecahan) 1, sedangkan penyebutnya berturut-turut 1, 2, 3, dan seterusnya. Pada kolom, polanya sebaliknya. Jika tabel ini dilanjutkan sampai tak hingga, semua pecahan yang ada akan termuat di dalamnya. Misalnya, pecahan 1478/517 terletak di baris 1478 dan kolom 517. Sekarang mari kita buat fungsi pemasangan. Kita bisa membuatnya seperti ini:

  • Bilangan asli 1 kita pasangkan dengan pecahan pertama di baris pertama, yaitu 1/1
  • Bilangan asli 2 kita pasangkan dengan pecahan kedua di baris pertama, yaitu 1/2
  • Bilangan asli 3 kita pasangkan dengan pecahan ketiga di baris pertama, yaitu 1/3
  • Bilangan asli 4 kita pasangkan dengan pecahan keempat di baris pertama, yaitu 1/4
  • …

Apakah dengan cara ini semua bilangan asli sudah berpasangan? Ya. Setiap bilangan asli mempunyai pasangan. Bilangan asli 174 berpasangan dengan pecahan 1/174. Namun, apakah sebaliknya juga berlaku? Apakah setiap pecahan mempunyai pasangan di antara bilangan asli? Apa pasangan pecahan 2/3? Tidak ada, karena dengan fungsi pemasangan ini kita tidak pernah sampai ke baris kedua. Kita hanya berhasil memasangkan baris pertama pecahan.

Apakah ini berarti bilangan rasional lebih banyak daripada bilangan asli? Sayangnya tidak. Jika satu strategi pemasangan tidak berhasil, belum tentu strategi lain juga gagal. Kali ini kita coba menelusuri diagonal-diagonalnya:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Bilangan asli 1 kita pasangkan dengan pecahan 1/1 (diagonal pertama),
  • bilangan asli 2 kita pasangkan dengan pecahan 1/2 (diagonal kedua),
  • bilangan asli 3 kita pasangkan dengan pecahan 2/1 (diagonal kedua),
  • bilangan asli 4 kita pasangkan dengan pecahan 1/3 (diagonal ketiga),
  • bilangan asli 5 kita pasangkan dengan pecahan 2/2 (diagonal ketiga),
  • bilangan asli 6 kita pasangkan dengan pecahan 3/1 (diagonal ketiga),
  • dan seterusnya.

Strategi pemasangan ini dapat kamu lihat pada animasi:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
 
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
 
3⁄6
 
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
 
4⁄5
 
4⁄6
 
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
 
5⁄4
 
5⁄5
 
5⁄6
 
6⁄1
21
6⁄2
 
6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

Dengan cara ini, semua pecahan dapat terjangkau. Tidak ada diagonal yang panjangnya tak hingga, sehingga kita tidak akan terjebak “selamanya” di satu diagonal. Pada akhirnya, setiap pecahan akan mendapat suatu bilangan asli, dan tentu saja setiap bilangan asli akan mendapat pecahan yang unik.

Hmm… sebenarnya belum sepenuhnya. Jika kita lihat lagi tabel pecahan tadi, ternyata banyak bilangan yang muncul berulang kali. Misalnya, pecahan 1/1, 2/2, 3/3, dan seterusnya menyatakan bilangan yang sama, yaitu bilangan 1. Begitu pula pecahan 1/2, 2/4, dan 3/6 menyatakan setengah. Akibatnya, bilangan asli 1, 5, 13, dan seterusnya kita petakan ke bilangan rasional yang sama, yaitu 1! Beberapa pengantin pria menikahi pengantin wanita yang sama. Itu tidak boleh!

Untungnya, hal ini mudah diperbaiki. Kita coret saja dari tabel semua pecahan yang belum dalam bentuk paling sederhana, yaitu semua pecahan yang masih dapat disederhanakan. Setelah dicoret, yang tersisa di tabel hanya bilangan rasional yang unik, dan trik diagonal kita akan berhasil. Setiap bilangan asli akan berpasangan dengan bilangan rasional yang unik, dan sebaliknya.

Artinya, himpunan bilangan asli sama besarnya dengan himpunan bilangan rasional!

Sejauh ini tampaknya semua himpunan tak hingga sama besarnya. Adakah himpunan tak hingga yang lebih besar daripada himpunan bilangan asli?

Mana yang lebih banyak, bilangan asli atau bilangan real?

Kini tibalah penyelamat terakhir kita: bilangan real. Pada garis bilangan real tidak ada lagi bilangan lain. Seperti apa bilangan real itu? Bilangan real memuat semua bilangan rasional dan juga semua bilangan irasional. Jika suatu bilangan ditulis dalam bentuk desimal, bilangan rasional:

  • mempunyai representasi desimal yang berhingga, misalnya 0,4841554,
  • atau mempunyai representasi desimal tak hingga yang berulang: 0,1313131313…

Sebaliknya, bilangan irasional selalu mempunyai representasi desimal tak hingga yang tidak berulang. Contoh bilangan irasional adalah π, yang sama dengan 3,141592653… (tidak ada bagian yang berulang). Kita langsung saja sampaikan di awal bahwa bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan rasional, dan karena itu juga lebih banyak daripada bilangan asli. Himpunan bilangan real lebih besar daripada himpunan bilangan asli. Lalu, bagaimana membuktikannya?

Bayangkan kita sudah menemukan strategi pemasangan untuk memasangkan semua bilangan asli dengan semua bilangan real. Misalkan strateginya seperti ini:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Kita andaikan bahwa di sebelah kiri ada semua bilangan asli dan di sebelah kanan ada semua bilangan real. Jika demikian, kita tidak akan bisa menemukan bilangan real yang tidak ada di sebelah kanan. Karena kita sudah membocorkan bahwa himpunan bilangan real lebih besar, berarti ada bilangan yang tidak muncul di sebelah kanan. Baiklah, tetapi bilangan yang mana? Misalnya, tampaknya bilangan 0,4818063607183678 tidak ada di sana. Namun, bagaimana jika bilangan itu justru bersembunyi di nomor 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

Bagaimana dengan bilangan 0,4208424736008147? Bilangan ini juga tidak terlihat. Namun, bagaimana jika bilangan ini justru bersembunyi di nomor 9?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Cara ini tidak akan berhasil. Karena pasangannya tak hingga banyaknya, tentu saja kita tidak dapat menuliskan semuanya, sehingga kita tidak bisa sekadar menebak apakah suatu bilangan ada di daftar atau tidak. Kita perlu menemukan bilangan yang berbeda dari semua bilangan di sebelah kanan tabel, meskipun kita tidak tahu bilangan apa saja yang ada di sana. Bagaimana caranya?

Agar dua bilangan berbeda, cukup jika keduanya berbeda pada satu angka. Misalnya, bilangan 0,123456 dan 0,123457 tidak sama, padahal hanya berbeda pada satu angka. Itu sudah cukup. Jadi, pada tabel kita dapat menandai angka ke-n di belakang koma pada bilangan real ke-n:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

lalu kita susun bilangan baru sehingga angka ke-n di belakang komanya berbeda dari angka ke-n bilangan real ke-n. Bilangan baru itu kita mulai dengan nol: 0,??? Angka pertama di belakang koma kita pilih sehingga berbeda dari angka pertama bilangan real pertama, yaitu berbeda dari 3. Misalnya, kita tulis 0,1???. Angka kedua harus berbeda dari angka kedua bilangan real kedua, yaitu harus berbeda dari 9. Misalnya, kita tulis 2: 0,12???. Begitu seterusnya. Sembilan angka pertama bisa jadi seperti ini: 0,123123127 (lihat baris terakhir tabel):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Bilangan ini berbeda dari semua bilangan dalam tabel, karena dari setiap bilangan tersebut selalu berbeda setidaknya pada satu angka. Meskipun tabel kita memuat tak hingga banyaknya bilangan, bilangan baru kita tersusun dari tak hingga banyaknya angka sehingga berbeda dari setiap bilangan dalam tabel setidaknya pada satu angka. Perhatikan juga bahwa kita dapat menyusun tak hingga banyaknya bilangan yang tidak ada di tabel! Apa kesimpulannya? Kita tidak dapat memasangkan bilangan asli dengan bilangan real. Selalu akan tersisa tak hingga banyaknya bilangan real yang tidak berpasangan dengan bilangan asli mana pun. Bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli.

Catatan penutup

  • Agar sederhana, sepanjang artikel ini kita mengabaikan bilangan negatif. Tentu saja bilangan negatif tidak mengubah kesimpulan. Sebagai pekerjaan rumah, kamu dapat mengubah strategi pemasangan dalam artikel ini agar berlaku juga untuk bilangan negatif.
  • Ukuran himpunan bilangan asli bahkan mempunyai nama sendiri, yaitu alef-nol.
  • Dalam matematika, alih-alih “ukuran himpunan” kita sering menggunakan istilah kardinalitas himpunan.