Phương pháp cộng nhanh Trachtenberg
Phương pháp cộng Trachtenberg là cách cộng nhanh nhiều số, sau đó kiểm tra lại bằng một cách khác xem ta đã tính đúng chưa. Phương pháp này do nhà toán học người Nga Jakow Trachtenberg nghĩ ra. Ta sẽ xem phương pháp qua một ví dụ. Hãy cộng ba số sau:
Trước hết, ta viết các số thẳng cột như sau:
Bây giờ ta cộng từng cột, bắt đầu từ bên phải. Điều ta quan tâm là tổng có lớn hơn hoặc bằng 11 hay không. Ở bước thứ nhất, ta cộng cột cuối cùng: 1 + 5 + 2 = 8. Kết quả này nhỏ hơn 11, nên ta chỉ việc viết nó dưới gạch ngang:
Ở bước thứ hai, ta cộng cột thứ hai tính từ bên phải: 5 + 7 + 6 = 18. Theo phương pháp Trachtenberg, mỗi khi tổng lớn hơn hoặc bằng 11, ta trừ tổng đi 11 và ghi nhớ đã phải làm như vậy bao nhiêu lần. Vì 18 lớn hơn 11 nên ta tính 18 − 11 = 7. Ta viết số 7 dưới gạch ngang, và vì đã trừ 11 một lần nên ta ghi số lần này ở dòng ngay bên dưới:
Quay lại cột trước, cột ngoài cùng bên phải, ta thấy tổng bằng 8, nên không phải trừ 11 lần nào. Vì vậy ta điền số 0 vào bảng:
Tiếp tục với cột thứ ba tính từ bên phải: 5 + 3 + 2 = 10. Đừng ngại số 10, nó nhỏ hơn 11, nên ta viết nó dưới gạch ngang cùng với số 0, vì không phải trừ 11:
Bây giờ ta cộng cột thứ tư tính từ bên phải, tức là cột đầu tiên. Ta có 9 + 7 = 16, lớn hơn 11. Vậy ta tính 16 − 11 = 5, ghi nhớ rằng đã trừ 11 một lần, rồi tiếp tục với số 5: cộng nó với số ở dòng thứ ba, tức là tính 5 + 9 = 14. Số 14 cũng lớn hơn 11, nên ta tính 14 − 11 = 3. Ta viết kết quả này dưới gạch ngang, kèm thông tin rằng ta đã phải trừ 11 tới 2 lần:
Dưới gạch ngang, ta bổ sung thêm một cột gồm hai số 0, sau này sẽ cần đến:
Tìm kết quả theo phương pháp Trachtenberg
Ta kẻ thêm một gạch ngang nữa và cộng hai dòng kết quả trung gian. Trước hết ta tính 8 + 0 = 8 và viết kết quả dưới gạch ngang:
Từ đây trở đi cách làm phức tạp hơn một chút: ta cộng các số theo hình chữ “L”. Tức là ta cộng hai số ở cột áp chót rồi cộng thêm số thứ hai ở cột trước đó (cột bên phải), nghĩa là tính 7 + 1 + 0 = 8:
Tiếp theo ta tính 10 + 0 + 1 = 11. Bây giờ làm như phép cộng thông thường: chỉ viết chữ số cuối cùng là 1, còn 1 chục được nhớ sang lượt sau.
Ở lượt tiếp theo, ta tính 3 + 2 + 0 + 1 = 6, trong đó số 1 ở cuối chính là số nhớ từ lượt trước (tức là cứ mỗi chục được nhớ sang, ta cộng thêm 1).
Cuối cùng ta dùng đến cột gồm hai số 0 – nó có mặt ở đây chỉ để ta không quên thực hiện phép cộng cuối cùng 0 + 0 + 2 = 2.
Đây là kết quả ta nhận được bằng phương pháp Trachtenberg. Vậy
Kiểm tra các kết quả trung gian
Ưu điểm của phương pháp Trachtenberg là có thể kiểm tra khá dễ dàng xem ta đã tính đúng chưa mà không cần làm lại toàn bộ phép tính. Trachtenberg đã tìm ra cách kiểm tra cả kết quả trung gian lẫn kết quả cuối cùng bằng một cách hoàn toàn khác. Vì vậy, nếu bạn tính tổng bằng phương pháp Trachtenberg và đồng thời thử lại, bạn có thể khá chắc chắn rằng mình đã tính đúng. Ta hãy thử kiểm tra xem kết quả của ta có đúng không.
Toàn bộ phép tính có thể chia thành ba phần: các số hạng, các kết quả trung gian và kết quả:
Trong giai đoạn thứ nhất, ta kiểm tra xem các kết quả trung gian có đúng không. Muốn vậy, ta phải tính tổng chữ số lặp lại của các cột. Tổng chữ số lặp lại của một số nhận được bằng cách cộng tất cả các chữ số của số đó, cho đến khi chỉ còn một chữ số. Chẳng hạn, để tìm tổng chữ số lặp lại của 456, ta tính 4 + 5 + 6 = 15. Nếu kết quả lớn hơn 9, ta lại cộng các chữ số một lần nữa, tức là tính tiếp 1 + 5 = 6. Vậy tổng chữ số lặp lại của 456 bằng 6.
Bây giờ ta quay lại các số hạng và tính tổng chữ số lặp lại của cột cuối cùng, tức là của số 152: 1 + 5 + 2 = 8.
Tiếp theo ta tính tổng chữ số lặp lại của cột áp chót, tức là của số 576: 5 + 7 + 6 = 18, rồi 1 + 8 = 9.
Với cột thứ ba tính từ bên phải, ta được 5 + 3 + 2 = 10; vì số này có 2 chữ số nên ta tính tiếp 1 + 0 = 1:
và với cột đầu tiên, ta có 9 + 7 + 9 = 25, rồi 2 + 5 = 7:
Các tổng chữ số lặp lại thu được là: 7198. Bây giờ ta xét các kết quả trung gian:
Ta chép dòng thứ hai và thêm nó vào cuối, tức là dòng thứ hai xuất hiện 2 lần:
Bây giờ ta làm giống như với các số hạng. Từ mỗi cột ta lập một số và tính tổng chữ số lặp lại của nó. Lại bắt đầu từ cuối, ta được 8 + 0 + 0 = 8, cột tiếp theo cho 7 + 1 + 1 = 9, cột tiếp theo 10 + 0 + 0 = 10, rồi 1 + 0 = 1, và cuối cùng 3 + 2 + 2 = 7:
Bây giờ ta so sánh kết quả. Tổng chữ số lặp lại của các số hạng cho ta số 7198, đúng bằng tổng chữ số lặp lại của các kết quả trung gian – vậy ta đã tính đúng. Nếu hai kết quả này khác nhau thì ta đã nhầm ở đâu đó: hoặc khi thử lại, hoặc khi cộng.
Kiểm tra kết quả cuối cùng
Đến đây, kiểm tra xem kết quả có đúng không là việc đơn giản. Ta tính tổng chữ số lặp lại của kết quả và của số 7198 vừa tìm được; hai số này phải bằng nhau. Ta lấy kết quả 26.188 và tính tổng chữ số lặp lại của nó:
Bây giờ ta tính tổng chữ số lặp lại của số 7198 lập từ các tổng vừa tìm được:
Ta thấy cả hai tổng đều bằng 7, vậy phép thử cho kết quả khớp và ta đã tính đúng!