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동차 연립일차방정식

모든 방정식의 우변이 0인 연립방정식을 동차 연립방정식이라고 한다.

동차 연립방정식의 정의

동차 연립방정식의 일반적인 꼴은 다음과 같다.

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0

이 연립방정식은 미지수가 n개인 방정식 m개로 이루어지고, 모든 방정식의 우변이 0이다. 우변이 0이 아니라면 동차 연립방정식이 아니다. 앞의 연립방정식은 계수, 즉 식 aij를 모두 연립방정식에서와 같은 자리에 차례로 옮겨 적어 행렬로 나타낼 수 있다. 우변의 0인 열은 옮겨 적을 필요가 없으므로 적지 않는다. 그러면 다음과 같다.

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)

이 행렬은 위에서 설명한, 미지수가 n개인 방정식 m개의 연립방정식을 나타낸다. 이 행렬의 각 행은 방정식 하나에 대응한다. 그러면 연립방정식 전체를 다음과 같이 쓸 수 있다.

Ax=0

연립방정식의 기본 성질

연립일차방정식에 관한 글과 프로베니우스 정리에서 동차 연립방정식에 관한 흥미로운 사실을 몇 가지 얻을 수 있다.

  • 모든 동차 연립방정식은 해를 가진다.
  • 동차 연립방정식의 해집합에는 언제나 자명한 해가 들어 있다. 모든 미지수에 0을 대입하면 방정식 0 = 0을 m개 얻는다.
  • 프로베니우스 정리에서, 연립방정식의 일반해를 쓰는 데 매개변수가 n − k개 필요하다는 것을 안다. 여기서 n은 미지수의 개수이고 k는 확대행렬의 계수인데, 이 경우에는 k = rank(A)이다. n = k이면 매개변수가 필요 없고 연립방정식의 해는 자명한 해 하나뿐이다. 그리고 n = k일 필요충분조건은 행렬 A에 일차종속인 열이 없는 것이다(정사각행렬이라면 정칙이라는 뜻이다).
  • 앞의 항목에서 연립방정식이 자명하지 않은 해를 가질 필요충분조건은 행렬 A에 일차종속인 열이 있는 것이라는 것도 나온다.
  • 미지수가 방정식보다 많으면 연립방정식은 자명하지 않은 해를 가진다. 미지수가 방정식보다 많으면 k = rank(A)는 많아야 방정식의 개수, 즉 m이다. 그리고 k < n이면 n − k > 0이므로 다른 해들이 있고, 그 해들은 매개변수 n − k개로 나타낸다.

해집합의 성질

  • 연립방정식 Ax = 0의 임의의 해들의 합도 연립방정식의 해이다. x1과 x2가 연립방정식의 해이면 Ax1 = 0이고 Ax2 = 0이며, 이 명제에 따라 A(x1 + x2) = 0도 성립한다.

증명은 간단하다. Ax1 = 0과 Ax2 = 0이 성립한다고 가정하고 A(x1 + x2) = 0을 증명한다. 행렬의 덧셈과 곱셈은 분배법칙을 만족하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

그런데 가정에 따라 Ax1 = 0이고 Ax2 = 0이므로 식 Ax1 + Ax2를 0+0으로 바꿔 쓸 수 있다. 방정식 0 = 0을 얻으므로 명제가 성립한다.

구체적인 예를 보자. 연립방정식의 해가 두 개 x1 = (0, 5, 6)과 x2 = (7, 3, 5)이면 x3 = x1 + x2 = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11)도 연립방정식의 해이다.

  • 모든 상수 c ∈ ℝ에 대해 연립방정식의 해의 c배도 해이다. x1이 연립방정식 Ax = 0의 해이면 c · x1도 연립방정식의 해이다.

이번에도 증명은 간단하다. x1이 연립방정식 Ax = 0의 해이고 c ∈ ℝ이라고 가정하자. 그러면 다음 등식이 성립함을 증명한다.

A(cx1)=0

c는 수인 상수이므로 식 전체 앞으로 묶어 낼 수 있다.

A(cx1)=c⋅Ax1

가정에 따라 Ax1 = 0이므로 c · Ax1에서 c · 0 = 0을 얻는다.

  • 앞의 두 항목에서 연립방정식의 해들의 일차결합은 모두 이 연립방정식의 해라는 결론이 나온다.

그러면 이런 질문이 떠오른다. 어떤 해들이 다른 해들의 일차결합일 뿐이라면, 나머지 해를 모두 만들어 낼 수 있는 해의 집합이 있을까?

이번에는 연립방정식의 해를 행렬로 적어 보자. 즉 x1 = (x11, x12, …, x1n)이 해이고 x2 = (x21, x22, …, x2n)이 해이고 다른 xi도 그렇다면, 이 해들을 열로 가지는 행렬 F를 만든다.

F=(x11x21…x12x22…⋮⋮⋱x1nx2n…)

일차결합은 무수히 많이 만들 수 있고 그만큼 해도 무수히 많으므로 행렬 F의 열도 무수히 많아진다. 이제 관심을 둘 것은 행렬 F를 줄여서, 나머지 해를 모두 만들어 낼 수 있는 유한 개의 열만 남길 수 있느냐는 것이다.

열은 몇 개 남을까? 원래 연립방정식의 미지수가 n개이고 각 열이 해 하나를 나타내므로 행렬 F의 행은 n개이다. 따라서 행렬 F의 계수는 많아야 n이다. 행렬 F의 열이 n개보다 많으면 적어도 한 열은 반드시 일차종속이다. 그러니 해집합 전체를 크기가 많아야 n × n인 행렬로 나타내고, 나머지 해는 일차결합으로 구할 수 있다. 그 밖의 열은 모두 불필요하다. 행렬 F의 크기를 더 줄일 수 있느냐는 질문이 남는다.

기본해계

프로베니우스 정리에서, 연립방정식 Ax = 0의 일반해는 매개변수 n − k개로 나타낼 수 있다는 것을 안다. 여기서 n은 미지수의 개수이고 k = rank(A)이다. 매개변수를 t1, t2, …, tn − k로 나타내자. 이 매개변수들로 일차독립인 해 두 개를 어떻게 만들 수 있을까?

첫 번째로 매개변수 t1에 1을, 나머지에 0을 대입한다. 즉 t1 = 1이고 t2 = t3 = … = tn − k = 0이다. 두 번째로 같은 일을 하되 1을 두 번째 매개변수로 옮긴다. t2 = 1이고 t1 = t3 = t4 = … = tn − k = 0이다. 이 매개변수들을 일반해에 대입하면 일차독립인 서로 다른 해 두 개를 얻는다.

예: 다음이

(t1,t2,t3,2t1,4t3)

매개변수가 세 개인 어떤 동차 연립방정식의 일반해라고 하자. 매개변수를 t1 = 1, t2 = t3 = 0으로 고르면 특수해 x1 = (1, 0, 0, 2, 0)을 얻고, t1 = t3 = 0, t2 = 1이면 x2 = (0, 1, 0, 0, 0)을, t1 = t2 = 0, t3 = 1이면 x3 = (0, 0, 1, 0, 4)를 얻는다. 특수해들을 행렬 F에 적는다.

F=(100010001200004)

처음 세 행만 보아도 열들이 일차독립이라는 것을 분명히 알 수 있다. 이렇게 서로 일차독립인 서로 다른 특수해 세 개를 만들었다. 또 그 밖의 해는 모두 일차종속이다. 매개변수를 t1 = 1, t2 = 2, t3 = 0으로 골라 해를 구하면 x4 = (1, 2, 0, 2, 0)을 얻는다.

그런데 이 해는 x1 + 2x2 = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0)으로 나타낼 수 있다. 다른 해도 마찬가지이다. 이렇게 열이 세 개이고 연립방정식의 해를 모두 정하는 행렬을 얻었다.

이 과정은 일반화할 수 있다. 연립방정식 Ax = 0과, 매개변수를 n − k개 쓰는 일반해가 있으면 연립방정식의 해는 일차독립인 특수해 n − k개로 나타낼 수 있다. 이런 해의 집합을 기본해계라고 한다.

이 해들은 예를 들어 매개변수 t1, t2, …, tn − k에 차례로 1을 대입하고 나머지 매개변수를 0으로 두어 얻는다. 그러면 일차독립인 연립방정식의 해 n − k개를 얻는다.

일차독립인 특수해 n − k개를 만드는 방법이 이것만 있는 것은 아니다. 매개변수 ti에 1 대신 0이 아닌 아무 수나 대입해도 일차독립인 해를 얻는다.

연립방정식 Ax = 0의 기본해계의 정의를 다시 한 번 쓰면 다음과 같다. 기본해계는 다음 조건을 만족하는 특수해의 집합 {x1, x2, …, xn − k}이다.

  • x1, x2, …, xn − k는 일차독립이다.
  • 연립방정식 Ax = 0의 임의의 해는 특수해 x1, x2, …, xn − k의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

예제

다음 동차 연립방정식을 풀고 기본해계를 구하시오.

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=02x1−18x2+20x3+3x4=08x1−20x2+28x3+4x4=0

계수행렬 A는 다음과 같다.

A=(2−57143102−182038−20284)

이 행렬의 행렬식을 구할 수 있다. 행렬식은 0이다. 따라서 계수행렬은 특이행렬이고 연립방정식은 자명하지 않은 해를 가진다. 가우스 소거법으로 연립방정식의 일반해를 구하자. 마지막 네 번째 행은 처음 세 행의 합과 같다. 그래서 네 번째 행 전체를 0으로 만든다. 그다음 첫 번째 행에 3을, 두 번째 행에 −1을 곱하고, 세 번째 행은 처음 두 행의 합과 같아진다.

(2−57143102−182038−20284)∼(2−57143102−182030000)∼(6−15213−4−3−102−182030000)∼(6−15213−4−3−1000000000)∼(2−571431000000000)

더 변형해도 소용없다. 행렬의 계수는 2, 즉 rank(A) = 2이다. 연립방정식의 일반해를 쓰려면 매개변수가 두 개 필요하다. 이것을 s와 t라고 하자. 기본해계를 쓰려면 특수해가 두 개 필요하다.

이제 다음 연립방정식을 얻었다.

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=0

두 번째 방정식을 x3에 대해 정리한다.

x3=−4x1−3x2

x1과 x2에 매개변수를 대입한다. 즉 s = x1이고 t = x2이다. 그러면 x3 = −4s − 3t라고 쓸 수 있다. 이제 x4를 구하면 된다. 첫 번째 방정식에서 구한다.

x4=−2s+5t−7(−4s−3t)x4=−2s+5t+28s+21tx4=26s+26tx4=26(s+t)

따라서 일반해는 (s, t, −4s − 3t, 26(s + t))이다. 기본해계를 얻으려면 일차독립인 특수해(즉 구체적인 해) 두 개를 찾아야 한다. 매개변수에 먼저 s = 1, t = 0을, 다음에 s = 0, t = 1을 대입해서 찾는다. 첫 번째 매개변수 쌍에 대한 특수해는

X1=(x1,x2,x3,x4)=(1,0,−4,26)

이고, 두 번째 쌍에 대한 특수해는

X2=(x1,x2,x3,x4)=(0,1,−3,26).

이다. 이 해들은 일차독립이다. 일반해에서 매개변수를 두 개 썼으므로 기본해계를 만드는 데는 특수해 두 개면 충분하다. 따라서 기본해계는 다음과 같다.

{(1,0,−4,26),(0,1,−3,26)}.

원래 방정식에 대입해서 두 해가 맞는지 확인할 수도 있다. X1에 대해 다음 방정식을 얻는다.

2⋅1−5⋅0+7⋅(−4)+26=04⋅1+3⋅0−4=02⋅1−18⋅0+20⋅(−4)+3⋅26=08⋅1−20⋅0+28⋅(−4)+4⋅26=0

정리하면 다음과 같다.

2−28+26=04−4=02−80+78=08−112+104=0

모든 방정식이 0 = 0이 된다. 계산이 맞은 것 같다.

목차: 연립일차방정식, 크라메르 공식, 동차 연립일차방정식