Sifat distributif

Sifat distributif (penyebaran) adalah sifat dua operasi biner, misalnya penjumlahan dan perkalian. Untuk perkalian dan penjumlahan, sifat distributif menyatakan bahwa kita boleh “menjabarkan tanda kurung”. Misalnya, jika ada bentuk

$$2\cdot (3+4)$$

kita tahu bahwa tanda kurungnya boleh dijabarkan, sehingga diperoleh bentuk lain

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Kedua bentuk menghasilkan nilai yang sama, yaitu 14. Penjabaran ini boleh dilakukan karena pada himpunan bilangan real operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan. Secara umum, jika ada dua operasi · dan +, kita katakan bahwa operasi · pada himpunan M bersifat distributif terhadap operasi + jika berlaku

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

untuk semua a, b, c ∈ M. Contoh lain operasi yang bersifat distributif adalah operasi dalam logika matematika, yaitu konjungsi ∧ dan disjungsi ∨. Misalkan ada pernyataan A, B, dan C. Jika kita mengatakan “A dan (B atau C)”, kita menuliskannya sebagai

$$A\wedge (B\vee C)$$

Karena konjungsi bersifat distributif terhadap disjungsi, berlaku juga

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Dengan kata-kata: “(A dan B) atau (A dan C)”. Sebagai contoh operasi yang tidak bersifat distributif, ambil penjumlahan dan pengurangan:

$$10-(5+3)$$

Hasil yang benar tentu 2, karena setelah isi tanda kurung dijumlahkan diperoleh 10 − 8, yaitu 2. Jika pada perhitungan ini kita menerapkan aturan distributif, kita memperoleh bentuk:

$$(10-5)+(10-3)$$

Setelah isi tanda kurung dihitung, kita peroleh 5 + 7, yaitu 12. Hasilnya salah, jadi pengurangan tidak bersifat distributif terhadap penjumlahan.

Contoh lain: beberapa operasi pada matriks memenuhi sifat distributif. Begitu pula vektor dalam ruang vektor. Operasi pada lapangan (field) harus bersifat distributif.