Równania niewymierne

Równanie niewymierne to równanie, w którym niewiadoma ukrywa się pod pierwiastkiem. Nazwa nie oznacza, że równanie jest nierozsądne, tylko że pojawiają się w nim pierwiastki, a ich wartości często są liczbami niewymiernymi. Na przykład takie:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Pierwiastka pozbędziemy się, podnosząc całe równanie do kwadratu. Podniesienie do kwadratu i pierwiastek wzajemnie się znoszą, bo ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Dla pewności zrobimy jeszcze sprawdzenie: wynik podstawimy osobno do lewej strony równania wyjściowego (L) i osobno do prawej (P), a potem je porównamy.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ P& =& 5\end{array}$$

Wyszło L = P, zgadza się. To podstawienie wygląda na przesadną dokładność, ale przy równaniach niewymiernych należy do rozwiązania tak samo jak samo podnoszenie do kwadratu; bez niego nie masz wyniku. Cały tok postępowania mieści się w czterech krokach: wyodrębnić pierwiastek, podnieść równanie do kwadratu, dokończyć rozwiązywanie i na koniec zrobić sprawdzenie.

Dlaczego sprawdzenie jest obowiązkowe

Podnoszenie do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnym. Z równości dwóch liczb wynika wprawdzie równość ich kwadratów, ale w drugą stronę to nie działa: 3 ≠ − 3, a mimo to 3² = (−3)² = 9. Po podniesieniu do kwadratu może więc powstać równanie z większą liczbą rozwiązań niż to pierwotne. Przyjrzyjmy się równaniu

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Podnosimy obie strony do kwadratu i wszystko przenosimy na jedną stronę:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Dostaliśmy równanie kwadratowe. Rozkłada się ono na (x − 2)(x + 1) = 0, więc jego rozwiązania to x = 2 i x = −1. Teraz czas na sprawdzenie, najpierw dla dwójki:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ P& =& 2\end{array}$$

Obie strony są równe, L = P, więc dwójka jest rozwiązaniem. A co z minus jedynką?

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ P& =& -1\end{array}$$

Po lewej wyszła jedynka, po prawej minus jedynka, więc L ≠ P. Minus jedynka rozwiązaniem nie jest, chociaż rachunek uczciwie nam ją wypluł. Równanie ma jedno rozwiązanie, x = 2.

Skąd wzięło się to fałszywe rozwiązanie? Najlepiej pokazuje to rysunek. Lewa strona równania to funkcja $y=\sqrt{x+2}$ (na czerwono), prawa strona to prosta y = x (na niebiesko). Rozwiązaniem równania jest miejsce, w którym obie linie się przecinają, a to tylko punkt (2, 2), czyli x = 2.

Szarą linią przerywaną narysowana jest funkcja $y=-\sqrt{x+2}$. Gdy podniesiemy do kwadratu $y=\sqrt{x+2}$ i $y=-\sqrt{x+2}$, minus znika i z obu robi się to samo y² = x + 2. Podniesienie do kwadratu zlewa więc równania $\sqrt{x+2}=x$ i $-\sqrt{x+2}=x$ w jedno, a równanie kwadratowe znajduje potem przecięcia obu wykresów. Szara krzywa przecina prostą w punkcie (−1, −1) i właśnie stąd pochodzi nasza minus jedynka. Takiego intruza niezawodnie wykryje tylko sprawdzenie.

Rysunek zdradza jeszcze coś: oba pierwiastki, czerwony i szary, zaczynają się dopiero w x = −2. Pod pierwiastkiem nie może stać liczba ujemna, więc równanie ma sens tylko dla x ≥ − 2. Fałszywa minus jedynka mieści się w tym przedziale, dlatego warunek jej nie wyłapie. Na światło dzienne wyciągnie ją dopiero sprawdzenie.

Najpierw wyodrębnić pierwiastek

Weźmy kolejne równanie

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Strasznie kusi, żeby od razu podnieść do kwadratu lewą stronę razem z trójką. Tyle że kwadrat sumy nie liczy się wyraz po wyrazie, (a + b)² = a² + 2ab + b², więc wyszłoby

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

a pierwiastek nadal czaiłby się w równaniu, tylko w brzydszej postaci. Dlatego najpierw wyodrębniamy pierwiastek po jednej stronie, a podnosimy do kwadratu dopiero potem:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Prawą stronę podnieśliśmy do kwadratu tym samym wzorem, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Równanie kwadratowe rozkłada się na (x − 6)(x − 2) = 0 i ma rozwiązania x = 6 oraz x = 2. Sprawdzenie zaczniemy od szóstki:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ P& =& 6\end{array}$$

Zachodzi L = P, szóstka pasuje. Teraz dwójka:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ P& =& 2\end{array}$$

Czwórka to nie dwójka, L ≠ P. Pudło. Rozwiązaniem jest tylko x = 6.

Dlaczego dwójka nie przeszła sprawdzenia? Po wyodrębnieniu pierwiastka mieliśmy $\sqrt{2x-3}=x-3$. Pierwiastek nigdy nie jest ujemny, więc równanie może być prawdziwe tylko dla tych x, dla których x − 3 jest nieujemne. Dla x = 2 prawa strona wynosi −1, a tego żaden pierwiastek nie da. Tego warunku możesz pilnować z góry, ale podstawienie na końcu jest wygodniejsze i wyłapuje wszystko naraz.

Czasem sprawdzenie nie przepuszcza niczego. Równanie $\sqrt{x}+5=1$ po wyodrębnieniu pierwiastka zmienia się w $\sqrt{x}=-4$. Po podniesieniu do kwadratu wychodzi x = 16, ale sprawdzenie daje $L=\sqrt{16}+5=9$ i P = 1, czyli L ≠ P. Równanie nie ma żadnego rozwiązania, co mogło być jasne od początku, bo pierwiastek nigdy nie równa się minus czterem.

Dwa pierwiastki

Gdy w równaniu spotkają się dwa pierwiastki, jedno podniesienie do kwadratu zazwyczaj nie wystarczy. Tok postępowania się jednak nie zmienia: wyodrębnić, podnieść do kwadratu, a jeśli pierwiastek zostanie, powtórzyć wszystko od nowa. Spróbujmy z tym równaniem

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Obu pierwiastków naraz wyodrębnić się nie da, więc przynajmniej przenosimy $\sqrt{x}$ na prawą stronę, żeby każdy pierwiastek był po innej stronie. Gdybyśmy podnieśli do kwadratu różnicę po lewej, dostalibyśmy iloczyn $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, który mocno skomplikowałby rozwiązanie. Podnosimy więc tak:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Po prawej stronie znów podnieśliśmy do kwadratu dwumian, więc pojawił się tam wyraz środkowy $2\sqrt{x}$. Na szczęście iksy się zredukują i zostanie jeden pierwiastek:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Podnosiliśmy do kwadratu dwa razy, więc sprawdzenie przydaje się tu podwójnie:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ P& =& 1\end{array}$$

L = P, zgadza się, równanie ma rozwiązanie x = 4.