Equazioni irrazionali

Un’equazione irrazionale è un’equazione in cui l’incognita è nascosta sotto una radice. Il nome non significa che l’equazione sia irragionevole, ma solo che compaiono radici, che spesso danno numeri irrazionali. Per esempio questa:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Ci liberiamo della radice elevando al quadrato tutta l’equazione. L’elevamento al quadrato e la radice si annullano a vicenda, perché ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Per sicurezza facciamo ancora la verifica: sostituiamo il risultato separatamente nel primo membro (I) e nel secondo membro (II) dell’equazione di partenza e li confrontiamo.

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{II}& =& 5\end{array}$$

Otteniamo I = II, torna. Questa sostituzione sembra un eccesso di scrupolo, ma nelle equazioni irrazionali fa parte del calcolo quanto l’elevamento al quadrato; senza di essa il risultato non ce l’hai. L’intero procedimento sta in quattro passi: isolare la radice, elevare al quadrato l’equazione, risolvere l’equazione ottenuta e infine fare la verifica.

Perché la verifica è obbligatoria

L’elevamento al quadrato non rispetta i principi di equivalenza. Dall’uguaglianza di due numeri segue l’uguaglianza dei loro quadrati, ma nel verso opposto non funziona: 3 ≠ − 3, eppure 3² = (−3)² = 9. Elevando al quadrato può quindi nascere un’equazione con più soluzioni di quella di partenza. Vediamo l’equazione

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Eleviamo al quadrato entrambi i membri e portiamo tutto da una parte:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado. Si scompone in (x − 2)(x + 1) = 0, le soluzioni sono quindi x = 2 e x = −1. Tocca alla verifica, prima con il due:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{II}& =& 2\end{array}$$

I due membri sono uguali, I = II, quindi il due è una soluzione. E il meno uno?

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{II}& =& -1\end{array}$$

A sinistra otteniamo uno, a destra meno uno, quindi I ≠ II. Meno uno non è una soluzione, anche se il calcolo ce l’ha servito onestamente. L’equazione ha un’unica soluzione, x = 2.

Da dove viene quella soluzione estranea? Lo mostra meglio la figura. Il primo membro dell’equazione è la funzione $y=\sqrt{x+2}$ (in rosso), il secondo membro la retta y = x (in blu). La soluzione dell’equazione è il punto in cui le due linee si incontrano, e questo è solo il punto (2; 2), cioè x = 2.

In grigio tratteggiato c’è la funzione $y=-\sqrt{x+2}$. Quando eleviamo al quadrato sia $y=\sqrt{x+2}$ sia $y=-\sqrt{x+2}$, il meno sparisce e da entrambe ricaviamo lo stesso y² = x + 2. L’elevamento al quadrato fonde quindi le equazioni $\sqrt{x+2}=x$ e $-\sqrt{x+2}=x$ in una sola, e l’equazione di secondo grado trova le intersezioni di entrambe. La curva grigia incontra la retta nel punto (−1; −1), e proprio da lì viene il nostro meno uno. Un intruso del genere lo smaschera con certezza soltanto la verifica.

La figura rivela ancora qualcosa: entrambe le radici, quella rossa e quella grigia, cominciano solo in x = −2. Sotto radice non può esserci un numero negativo, quindi l’equazione ha senso solo per x ≥ − 2. Il falso meno uno rientra in questo intervallo, perciò la condizione non lo intercetta. Lo porta alla luce solo la verifica.

Prima isolare la radice

Passiamo a un’altra equazione

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Viene una gran voglia di elevare subito al quadrato il primo membro insieme al tre. Ma il quadrato di una somma non si calcola termine per termine, (a + b)² = a² + 2ab + b², quindi verrebbe

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

e la radice rimarrebbe in agguato nell’equazione, solo in una forma più brutta. Perciò prima isoliamo la radice da una parte e solo dopo eleviamo al quadrato:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Il secondo membro l’abbiamo elevato al quadrato con la stessa formula, (x − 3)² = x² − 6x + 9. L’equazione di secondo grado si scompone in (x − 6)(x − 2) = 0 con soluzioni x = 6 e x = 2. La verifica comincia con il sei:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{II}& =& 6\end{array}$$

Vale I = II, il sei va bene. Ora il due:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{II}& =& 2\end{array}$$

Il quattro non è il due, I ≠ II. Ecco il tranello! La soluzione è solo x = 6.

Perché il due non ha superato la verifica? Dopo aver isolato la radice avevamo $\sqrt{2x-3}=x-3$. La radice non è mai negativa, quindi l’equazione può valere solo per gli x per i quali x − 3 è almeno zero. Per x = 2 il secondo membro è −1, e nessuna radice dà questo valore. Questa condizione puoi controllarla in anticipo, ma la sostituzione finale è più comoda e coglie tutto in una volta.

A volte la verifica non lascia passare nulla. L’equazione $\sqrt{x}+5=1$ dopo l’isolamento diventa $\sqrt{x}=-4$. Elevando al quadrato si ottiene x = 16, ma la verifica dà $\text{I}=\sqrt{16}+5=9$ e II = 1, quindi I ≠ II. L’equazione non ha alcuna soluzione, cosa che poteva essere chiara fin dall’inizio, perché una radice non è mai uguale a meno quattro.

Due radici

Appena in un’equazione si incontrano due radici, di solito un solo elevamento al quadrato non basta. Il procedimento però non cambia: isolare, elevare al quadrato e, se resta una radice, ripetere tutto il giro. Proviamo con questa equazione

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Non si possono isolare entrambe le radici insieme, quindi almeno portiamo $\sqrt{x}$ a destra, in modo che ogni radice sia da una parte diversa. Se elevassimo al quadrato la differenza a sinistra, otterremmo il prodotto $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, che ci complicherebbe parecchio la soluzione. Eleviamo quindi così:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

A destra abbiamo di nuovo elevato al quadrato un binomio, quindi è comparso il doppio prodotto $2\sqrt{x}$. Per fortuna le x si elidono e resta una sola radice:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Abbiamo elevato al quadrato due volte, quindi la verifica qui serve doppiamente:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{II}& =& 1\end{array}$$

I = II, torna, l’equazione ha la soluzione x = 4.