Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita está escondida bajo una raíz. El nombre no significa que la ecuación sea poco razonable, sino solo que aparecen raíces, de las que a menudo salen números irracionales. Por ejemplo, esta:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Nos libramos de la raíz elevando al cuadrado toda la ecuación. Elevar al cuadrado y la raíz se anulan mutuamente, porque ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Por si acaso, hacemos la comprobación: sustituimos el resultado por separado en el miembro izquierdo del enunciado (I) y en el derecho (D) y los comparamos.

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{D}& =& 5\end{array}$$

Salió I = D, coincide. Esta sustitución parece un exceso de celo, pero en las ecuaciones irracionales forma parte del cálculo igual que elevar al cuadrado: sin ella no tienes el resultado. Todo el procedimiento cabe en cuatro pasos: despejar la raíz, elevar la ecuación al cuadrado, resolver lo que nos salga y, al final, hacer la comprobación.

Por qué la comprobación es obligatoria

Elevar al cuadrado no es una transformación equivalente. De la igualdad de dos números se deduce la igualdad de sus cuadrados, pero en sentido contrario no funciona: 3 ≠ − 3 y, sin embargo, 3² = (−3)² = 9. Al elevar al cuadrado puede aparecer, por tanto, una ecuación con más soluciones que la original. Veamos la ecuación

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Elevamos al cuadrado los dos miembros y pasamos todo a un lado:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Hemos obtenido una ecuación de segundo grado. Se factoriza como (x − 2)(x + 1) = 0, así que las soluciones son x = 2 y x = −1. Toca la comprobación, primero con el dos:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{D}& =& 2\end{array}$$

Ambos miembros son iguales, I = D, así que el dos es solución. ¿Y menos uno?

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{D}& =& -1\end{array}$$

A la izquierda salió uno y a la derecha menos uno, así que I ≠ D. Menos uno no es solución, aunque el cálculo nos lo haya escupido con toda honestidad. La ecuación tiene una única solución, x = 2.

¿De dónde salió esa solución falsa? Lo muestra mejor una figura. El primer miembro de la ecuación es la función $y=\sqrt{x+2}$ (en rojo) y el segundo miembro, la recta y = x (en azul). La solución de la ecuación es el lugar donde se cortan las dos líneas, y ese es solo el punto (2, 2), es decir, x = 2.

En gris y con trazos está la función $y=-\sqrt{x+2}$. Cuando elevamos al cuadrado $y=\sqrt{x+2}$ e $y=-\sqrt{x+2}$, el menos desaparece y de las dos sale la misma ecuación y² = x + 2. Elevar al cuadrado funde, pues, las ecuaciones $\sqrt{x+2}=x$ y $-\sqrt{x+2}=x$ en una sola, y la ecuación de segundo grado encuentra después los puntos de corte de ambas. La curva gris se encuentra con la recta en el punto (−1, −1), y de ahí viene precisamente nuestro menos uno. A un intruso así solo lo descubre con seguridad la comprobación.

La figura revela algo más: las dos raíces, la roja y la gris, empiezan solo en x = −2. Bajo la raíz no puede haber un número negativo, así que la ecuación tiene sentido solo para x ≥ − 2. El menos uno falso cae dentro de este intervalo, por eso la condición no lo detecta. Solo lo saca a la luz la comprobación.

Primero, despejar la raíz

Pasemos a otra ecuación:

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Tienta muchísimo elevar al cuadrado directamente el primer miembro, con el tres incluido. Pero el cuadrado de una suma no se calcula término a término, (a + b)² = a² + 2ab + b², así que saldría

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

y la raíz seguiría acechando en la ecuación, solo que con peor aspecto. Por eso primero despejamos la raíz en un lado y elevamos al cuadrado solo después:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

El segundo miembro lo hemos elevado al cuadrado con la misma fórmula, (x − 3)² = x² − 6x + 9. La ecuación de segundo grado se factoriza como (x − 6)(x − 2) = 0, con soluciones x = 6 y x = 2. Empezamos la comprobación con el seis:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{D}& =& 6\end{array}$$

Se cumple I = D, el seis vale. Ahora el dos:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{D}& =& 2\end{array}$$

El cuatro no es el dos, I ≠ D. Ahí está la trampa. La única solución es x = 6.

¿Por qué el dos no superó la comprobación? Tras despejar teníamos $\sqrt{2x-3}=x-3$. Una raíz nunca es negativa, así que la ecuación solo puede cumplirse para los x en los que x − 3 sea al menos cero. Para x = 2 el segundo miembro es −1, y eso no lo da ninguna raíz. Esta condición puedes vigilarla de antemano, pero sustituir al final es más cómodo y lo detecta todo a la vez.

A veces la comprobación no deja pasar nada. La ecuación $\sqrt{x}+5=1$ se convierte, tras despejar, en $\sqrt{x}=-4$. Al elevar al cuadrado sale x = 16, pero la comprobación da $\text{I}=\sqrt{16}+5=9$ y D = 1, es decir, I ≠ D. La ecuación no tiene ninguna solución, algo que podía estar claro desde el principio, porque una raíz nunca es igual a menos cuatro.

Dos raíces

En cuanto aparecen dos raíces en una ecuación, elevar al cuadrado una sola vez normalmente no basta. El procedimiento, sin embargo, no cambia: despejar, elevar al cuadrado y, si queda una raíz, repetir todo el ciclo. Probemos con esta ecuación

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

No se pueden despejar las dos raíces a la vez, así que al menos pasamos $\sqrt{x}$ a la derecha para que cada raíz esté en un lado distinto. Si elevásemos al cuadrado la diferencia de la izquierda, obtendríamos el producto $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, y este nos complicaría bastante la solución. Así que elevamos al cuadrado de esta forma:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

A la derecha hemos elevado al cuadrado otra vez un binomio, por lo que ha aparecido el término central $2\sqrt{x}$. Por suerte, las equis se restan y queda una sola raíz:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Hemos elevado al cuadrado dos veces, así que aquí la comprobación es doblemente útil:

$$\begin{array}{rcl}\text{I}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{D}& =& 1\end{array}$$

I = D, coincide, la ecuación tiene la solución x = 4.