Wurzelgleichungen

Eine irrationale Gleichung, meist Wurzelgleichung genannt, ist eine Gleichung, in der die Unbekannte unter einer Wurzel steckt. Der Name bedeutet nicht, dass die Gleichung unvernünftig wäre, sondern nur, dass in ihr Wurzeln vorkommen, aus denen oft irrationale Zahlen entstehen. Zum Beispiel diese hier:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Die Wurzel werden wir los, indem wir die ganze Gleichung quadrieren. Quadrieren und Wurzelziehen heben sich gegenseitig auf, denn ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Zur Sicherheit machen wir noch die Probe: Wir setzen das Ergebnis getrennt in die linke Seite der Aufgabe (LS) und in die rechte (RS) ein und vergleichen beide.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{LS}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{RS}& =& 5\end{array}$$

Es kam LS = RS heraus, das passt. Dieses Einsetzen wirkt wie übertriebene Gründlichkeit, gehört bei Wurzelgleichungen aber genauso zur Rechnung wie das Quadrieren selbst; ohne die Probe hast du kein Ergebnis. Das ganze Verfahren passt in vier Schritte: die Wurzel isolieren, die Gleichung quadrieren, lösen, was herauskommt, und zum Schluss die Probe machen.

Warum die Probe Pflicht ist

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Aus der Gleichheit zweier Zahlen folgt zwar die Gleichheit ihrer Quadrate, in die andere Richtung funktioniert das aber nicht: 3 ≠ − 3, und trotzdem ist 3² = (−3)² = 9. Durch das Quadrieren kann daher eine Gleichung mit mehr Lösungen entstehen, als die ursprüngliche hatte. Sehen wir uns die Gleichung an:

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Wir quadrieren beide Seiten und bringen alles auf eine Seite:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Wir haben eine quadratische Gleichung erhalten. Sie lässt sich zu (x − 2)(x + 1) = 0 zerlegen, die Lösungen sind also x = 2 und x = −1. Jetzt kommt die Probe, zuerst mit der Zwei:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{LS}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{RS}& =& 2\end{array}$$

Beide Seiten sind gleich, LS = RS, die Zwei ist also eine Lösung. Und wie sieht es mit minus eins aus?

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{LS}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \mathrm{RS}& =& -1\end{array}$$

Links kam eins heraus, rechts minus eins, also LS ≠ RS. Minus eins ist keine Lösung, obwohl die Rechnung sie uns brav geliefert hat. Die Gleichung hat nur die eine Lösung x = 2.

Woher kommt diese falsche Lösung? Am besten zeigt es die Abbildung. Die linke Seite der Gleichung ist die Funktion $y=\sqrt{x+2}$ (rot), die rechte Seite die Gerade y = x (blau). Die Lösung der Gleichung ist die Stelle, an der sich beide Linien schneiden, und das ist nur der Punkt (2 ∣ 2), also x = 2.

Grau gestrichelt ist die Funktion $y=-\sqrt{x+2}$ eingezeichnet. Wenn wir $y=\sqrt{x+2}$ und $y=-\sqrt{x+2}$ quadrieren, verschwindet das Minus, und aus beiden wird dasselbe y² = x + 2. Das Quadrieren verschmilzt also die Gleichungen $\sqrt{x+2}=x$ und $-\sqrt{x+2}=x$ zu einer, und die quadratische Gleichung findet dann die Schnittpunkte von beiden. Die graue Kurve trifft die Gerade im Punkt (−1 ∣ −1), und genau von dort stammt unser minus eins. Einen solchen Eindringling entlarvt zuverlässig nur die Probe.

Die Abbildung verrät noch etwas: Beide Wurzelkurven, die rote und die graue, beginnen erst bei x = −2. Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen, die Gleichung ergibt also nur für x ≥ − 2 einen Sinn. Das falsche minus eins liegt in diesem Bereich, die Bedingung fängt es deshalb nicht ab. Ans Licht bringt es erst die Probe.

Zuerst die Wurzel isolieren

Nehmen wir uns die nächste Gleichung vor:

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Es ist sehr verlockend, gleich die linke Seite samt der Drei zu quadrieren. Aber das Quadrat einer Summe rechnet man nicht gliedweise, (a + b)² = a² + 2ab + b², es käme also

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

heraus, und die Wurzel würde weiter in der Gleichung lauern, nur in hässlicherer Form. Deshalb isolieren wir die Wurzel zuerst auf einer Seite und quadrieren erst danach:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Die rechte Seite haben wir mit derselben Formel quadriert, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Die quadratische Gleichung zerlegt sich zu (x − 6)(x − 2) = 0 mit den Lösungen x = 6 und x = 2. Die Probe beginnen wir mit der Sechs:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{LS}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \mathrm{RS}& =& 6\end{array}$$

Es gilt LS = RS, die Sechs passt. Jetzt die Zwei:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{LS}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \mathrm{RS}& =& 2\end{array}$$

Vier ist nicht zwei, LS ≠ RS. Reingelegt. Die einzige Lösung ist x = 6.

Warum ist die Zwei bei der Probe durchgefallen? Nach dem Isolieren hatten wir $\sqrt{2x-3}=x-3$. Eine Wurzel ist nie negativ, die Gleichung kann also nur für solche x gelten, bei denen x − 3 mindestens null ist. Für x = 2 ist die rechte Seite −1, und das liefert keine Wurzel. Diese Bedingung kannst du auch vorher überprüfen, das Einsetzen am Ende ist aber bequemer und erwischt alles auf einmal.

Manchmal lässt die Probe gar nichts durch. Die Gleichung $\sqrt{x}+5=1$ wird nach dem Isolieren zu $\sqrt{x}=-4$. Nach dem Quadrieren kommt x = 16 heraus, aber die Probe ergibt $\mathrm{LS}=\sqrt{16}+5=9$ und RS = 1, also LS ≠ RS. Die Gleichung hat keine Lösung, was von Anfang an klar sein konnte, denn eine Wurzel ist niemals gleich minus vier.

Zwei Wurzeln

Sobald in einer Gleichung zwei Wurzeln aufeinandertreffen, reicht ein einziges Quadrieren in der Regel nicht aus. Das Vorgehen ändert sich aber nicht: isolieren, quadrieren, und wenn eine Wurzel übrig bleibt, die ganze Runde wiederholen. Versuchen wir es mit dieser Gleichung:

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Beide Wurzeln auf einmal isolieren geht nicht, also bringen wir wenigstens $\sqrt{x}$ nach rechts, damit jede Wurzel auf einer anderen Seite steht. Würden wir die Differenz auf der linken Seite quadrieren, bekämen wir das Produkt $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, und das würde die Lösung ordentlich verkomplizieren. So quadrieren wir also:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Rechts haben wir wieder ein Binom quadriert, deshalb ist das mittlere Glied $2\sqrt{x}$ aufgetaucht. Die Summanden mit der Unbekannten heben sich zum Glück weg, und es bleibt nur eine Wurzel übrig:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Wir haben zweimal quadriert, die Probe ist hier also doppelt angebracht:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{LS}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \mathrm{RS}& =& 1\end{array}$$

LS = RS, das passt, die Gleichung hat die Lösung x = 4.