Ecuații iraționale

O ecuație irațională este o ecuație în care necunoscuta se ascunde sub un radical. Numele nu înseamnă că ecuația ar fi lipsită de rațiune, ci doar că în ea apar radicali, ale căror valori sunt adesea numere iraționale. De exemplu, aceasta:

$$\sqrt{x+3}=5$$

De radical scăpăm ridicând întreaga ecuație la pătrat. Ridicarea la pătrat și radicalul se anulează reciproc, pentru că ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Pentru siguranță, facem încă o verificare: rezultatul îl înlocuim separat în membrul stâng al ecuației inițiale (MS) și separat în cel drept (MD) și le comparăm.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{MS}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{MD}& =& 5\end{array}$$

A ieșit MS = MD, se potrivește. Această înlocuire pare o grijă exagerată, dar la ecuațiile iraționale face parte din rezolvare la fel ca ridicarea la pătrat; fără ea nu ai încă rezultatul. Întregul procedeu încape în patru pași: izolăm radicalul, ridicăm ecuația la pătrat, rezolvăm ce a ieșit și, la sfârșit, facem verificarea.

De ce verificarea este obligatorie

Ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă. Din egalitatea a două numere rezultă egalitatea pătratelor lor, dar în sens invers nu funcționează: 3 ≠ − 3, și totuși 3² = (−3)² = 9. Prin ridicare la pătrat poate deci apărea o ecuație cu mai multe soluții decât cea inițială. Să ne uităm la ecuația

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Ridicăm la pătrat ambii membri și trecem totul într-un membru:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Am obținut o ecuație de gradul al doilea. Ea se descompune în (x − 2)(x + 1) = 0, deci soluțiile ei sunt x = 2 și x = −1. Urmează verificarea, mai întâi pentru doi:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{MS}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{MD}& =& 2\end{array}$$

Ambii membri sunt egali, MS = MD, deci doi este soluție. Și minus unu?

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{MS}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \mathrm{MD}& =& -1\end{array}$$

În stânga a ieșit unu, în dreapta minus unu, deci MS ≠ MD. Minus unu nu este soluție, deși calculul ni l-a dat cinstit. Ecuația are o singură soluție, x = 2.

De unde a apărut această soluție străină? Cel mai bine se vede în figură. Membrul stâng al ecuației este funcția $y=\sqrt{x+2}$ (roșu), membrul drept este dreapta y = x (albastru). Soluția ecuației este locul în care cele două linii se intersectează, iar acesta este doar punctul (2, 2), adică x = 2.

Cu linie gri întreruptă este desenată funcția $y=-\sqrt{x+2}$. Când ridicăm la pătrat și $y=\sqrt{x+2}$, și $y=-\sqrt{x+2}$, minusul dispare, iar din amândouă iese același y² = x + 2. Ridicarea la pătrat contopește deci ecuațiile $\sqrt{x+2}=x$ și $-\sqrt{x+2}=x$ într-una singură, iar ecuația de gradul al doilea găsește apoi intersecțiile ambelor grafice. Curba gri întâlnește dreapta în punctul (−1, −1) și de aici provine minus unu al nostru. Un asemenea intrus îl descoperă sigur doar verificarea.

Figura mai dezvăluie ceva: ambii radicali, cel roșu și cel gri, încep abia în x = −2. Sub radical nu poate sta un număr negativ, deci ecuația are sens doar pentru x ≥ − 2. Falsul minus unu se încadrează în acest interval, de aceea condiția nu-l prinde. Îl scoate la lumină abia verificarea.

Mai întâi izolăm radicalul

Să trecem la o altă ecuație

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Ispita este mare să ridici direct la pătrat membrul stâng, împreună cu trei. Numai că pătratul unei sume nu se calculează termen cu termen, (a + b)² = a² + 2ab + b², așa că ar ieși

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

iar radicalul ar rămâne în ecuație, doar că într-o formă mai urâtă. De aceea mai întâi izolăm radicalul într-un membru și abia apoi ridicăm la pătrat:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Membrul drept l-am ridicat la pătrat cu aceeași formulă, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Ecuația de gradul al doilea se descompune în (x − 6)(x − 2) = 0 și are soluțiile x = 6 și x = 2. Verificarea o începem cu șase:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{MS}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \mathrm{MD}& =& 6\end{array}$$

Avem MS = MD, șase convine. Acum doi:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{MS}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \mathrm{MD}& =& 2\end{array}$$

Patru nu este doi, MS ≠ MD. Nu se verifică. Soluția este doar x = 6.

De ce a picat doi la verificare? După izolarea radicalului aveam $\sqrt{2x-3}=x-3$. Radicalul nu este niciodată negativ, deci ecuația poate fi adevărată doar pentru acei x la care x − 3 este cel puțin zero. Pentru x = 2 membrul drept este −1, iar așa ceva nu dă niciun radical. Această condiție o poți urmări dinainte, dar înlocuirea de la sfârșit este mai comodă și le prinde pe toate deodată.

Uneori verificarea nu lasă să treacă nimic. Ecuația $\sqrt{x}+5=1$ se transformă, după izolarea radicalului, în $\sqrt{x}=-4$. După ridicarea la pătrat iese x = 16, dar verificarea dă $\mathrm{MS}=\sqrt{16}+5=9$ și MD = 1, deci MS ≠ MD. Ecuația nu are nicio soluție, lucru care putea fi clar de la început, pentru că radicalul nu este niciodată egal cu minus patru.

Doi radicali

De îndată ce într-o ecuație se întâlnesc doi radicali, o singură ridicare la pătrat de regulă nu ajunge. Procedeul rămâne însă același: izolăm, ridicăm la pătrat și, dacă mai rămâne un radical, o luăm de la capăt. Să încercăm această ecuație

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Nu putem izola ambii radicali deodată, așa că cel puțin mutăm $\sqrt{x}$ în dreapta, ca fiecare radical să fie în alt membru. Dacă am ridica la pătrat diferența din stânga, am obține produsul $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, care ne-ar complica serios rezolvarea. Ridicăm deci astfel:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

În dreapta am ridicat din nou la pătrat un binom, de aceea a apărut acolo termenul de mijloc $2\sqrt{x}$. Din fericire, necunoscutele se reduc și rămâne un singur radical:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Am ridicat la pătrat de două ori, deci verificarea este aici cu atât mai necesară:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{MS}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \mathrm{MD}& =& 1\end{array}$$

MS = MD, se potrivește, ecuația are soluția x = 4.