Irracionális egyenletek

Az irracionális egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen gyökjel alatt rejtőzik. A név nem azt jelenti, hogy az egyenlet észszerűtlen, csak azt, hogy gyökök vannak benne, és azokból gyakran irracionális számok lesznek. Például ebben:

$$\sqrt{x+3}=5$$

A gyöktől úgy szabadulunk meg, hogy az egész egyenletet négyzetre emeljük. A négyzetre emelés és a gyökvonás kioltja egymást, mert ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Biztos, ami biztos, még ellenőrzünk: az eredményt külön behelyettesítjük az eredeti egyenlet bal oldalába (B), külön a jobb oldalába (J), és összehasonlítjuk őket.

$$\begin{array}{rcl}B& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ J& =& 5\end{array}$$

Azt kaptuk, hogy B = J, stimmel. Ez a behelyettesítés túlzott alaposságnak tűnhet, az irracionális egyenleteknél azonban ugyanúgy a számolás része, mint maga a négyzetre emelés; nélküle nincs meg az eredmény. Az egész eljárás négy lépésből áll: kifejezzük a gyököt, négyzetre emeljük az egyenletet, megoldjuk, ami kijön, és végül ellenőrzünk.

Miért kötelező az ellenőrzés

A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás. Két szám egyenlőségéből ugyan következik a négyzetük egyenlősége, fordítva viszont ez nem működik: 3 ≠ − 3, mégis 3² = (−3)² = 9. A négyzetre emeléssel így olyan egyenlet is keletkezhet, amelynek több megoldása van, mint az eredetinek. Nézzük ezt az egyenletet:

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Mindkét oldalt négyzetre emeljük, és mindent az egyik oldalra rendezünk:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Egy másodfokú egyenletet kaptunk. Szorzattá alakítható: (x − 2)(x + 1) = 0, a megoldásai tehát x = 2 és x = −1. Jöhet az ellenőrzés, először a kettessel:

$$\begin{array}{rcl}B& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ J& =& 2\end{array}$$

A két oldal egyenlő, B = J, a kettő tehát megoldás. És a mínusz egy?

$$\begin{array}{rcl}B& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ J& =& -1\end{array}$$

Bal oldalon egy jött ki, jobb oldalon mínusz egy, tehát B ≠ J. A mínusz egy nem megoldás, pedig a számolás becsületesen kiadta. Az egyenletnek egyetlen megoldása van, x = 2.

Honnan jött ez a hamis gyök? Ezt az ábra mutatja meg a legjobban. Az egyenlet bal oldala az $y=\sqrt{x+2}$ függvény (pirossal), a jobb oldala az y = x egyenes (kékkel). Az egyenlet megoldása az a hely, ahol a két vonal metszi egymást, ez pedig csak a (2; 2) pont, vagyis x = 2.

Szürke szaggatott vonallal az $y=-\sqrt{x+2}$ függvény látható. Ha az $y=\sqrt{x+2}$ és az $y=-\sqrt{x+2}$ egyenletet is négyzetre emeljük, a mínusz eltűnik, és mindkettőből ugyanaz lesz: y² = x + 2. A négyzetre emelés tehát egybeolvasztja a $\sqrt{x+2}=x$ és a $-\sqrt{x+2}=x$ egyenletet, a másodfokú egyenlet pedig mindkettő metszéspontját megtalálja. A szürke görbe a (−1; −1) pontban metszi az egyenest, és éppen innen ered a mínusz egyesünk. Az ilyen betolakodót megbízhatóan csak az ellenőrzés leplezi le.

Az ábra még valamit elárul: mindkét gyökfüggvény, a piros és a szürke is csak az x = −2 helyen kezdődik. A gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért az egyenletnek csak x ≥ − 2 esetén van értelme. A hamis mínusz egy beleesik ebbe a tartományba, a feltétel tehát nem szűri ki. Csak az ellenőrzés hozza napvilágra.

Először fejezzük ki a gyököt

Lássuk a következő egyenletet:

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Nagyon csábító, hogy rögtön négyzetre emeljük a bal oldalt a hármassal együtt. Az összeg négyzetét azonban nem tagonként számoljuk, (a + b)² = a² + 2ab + b², ezért ez jönne ki:

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

és a gyök továbbra is ott lappangana az egyenletben, csak csúnyábban. Ezért a gyököt először kifejezzük, azaz az egyik oldalon egyedül hagyjuk, és csak utána emelünk négyzetre:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

A jobb oldalt ugyanazzal a képlettel emeltük négyzetre: (x − 3)² = x² − 6x + 9. A másodfokú egyenlet szorzattá alakítva (x − 6)(x − 2) = 0, a megoldásai x = 6 és x = 2. Az ellenőrzést a hatossal kezdjük:

$$\begin{array}{rcl}B& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ J& =& 6\end{array}$$

Teljesül, hogy B = J, a hatos megfelel. Most a kettes:

$$\begin{array}{rcl}B& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ J& =& 2\end{array}$$

A négyes nem kettes, B ≠ J. Átverés. A megoldás csak x = 6.

Miért bukott meg a kettes az ellenőrzésen? A gyök kifejezése után ez az egyenletünk volt: $\sqrt{2x-3}=x-3$. A gyök sosem negatív, ezért az egyenlet csak azokra az x értékekre teljesülhet, amelyekre x − 3 legalább nulla. Ha x = 2, a jobb oldal −1, ezt pedig semmilyen gyök nem adja ki. Ezt a feltételt előre is figyelheted, a végén való behelyettesítés azonban kényelmesebb, és mindent egyszerre elkap.

Néha az ellenőrzés semmit sem enged át. A $\sqrt{x}+5=1$ egyenlet a gyök kifejezése után $\sqrt{x}=-4$ lesz. Négyzetre emelés után x = 16 jön ki, de az ellenőrzés szerint $B=\sqrt{16}+5=9$ és J = 1, vagyis B ≠ J. Az egyenletnek nincs megoldása, ami már az elején világos lehetett, hiszen a gyök sosem egyenlő mínusz néggyel.

Két gyök

Amint két gyök kerül az egyenletbe, egyetlen négyzetre emelés általában nem elég. Az eljárás viszont nem változik: kifejezzük a gyököt, négyzetre emelünk, és ha marad gyök, az egész kört megismételjük. Próbáljuk ki ezt az egyenletet:

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

A két gyököt egyszerre nem lehet egyedül hagyni, ezért legalább a $\sqrt{x}$-et átvisszük jobbra, hogy a két gyök különböző oldalra kerüljön. Ha a bal oldali különbséget emelnénk négyzetre, megjelenne a $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$ szorzat, és az alaposan megnehezítené a megoldást. Így tehát emelünk négyzetre:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

A jobb oldalon ismét kéttagú kifejezést emeltünk négyzetre, ezért megjelent a középső tag, a $2\sqrt{x}$. Az ikszek szerencsére kiesnek, és egyetlen gyök marad:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Kétszer emeltünk négyzetre, így az ellenőrzés itt duplán indokolt:

$$\begin{array}{rcl}B& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ J& =& 1\end{array}$$

B = J, stimmel, az egyenlet megoldása x = 4.