Équation irrationnelle

Une équation irrationnelle est une équation dans laquelle l’inconnue est cachée sous une racine carrée. Le nom ne signifie pas que l’équation soit « déraisonnable » ; il indique seulement qu’elle contient des racines, dont le résultat est souvent un nombre irrationnel. Par exemple :

$$\sqrt{x+3}=5$$

On se débarrasse des racines en élevant l’équation au carré. L’élévation au carré et la racine carrée s’annulent mutuellement, puisque ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ :

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Pour en être sûrs, faisons une vérification : on substitue le résultat séparément dans le membre de gauche de l’énoncé (G) et dans le membre de droite (D), puis on compare.

$$\begin{array}{rcl}G& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ D& =& 5\end{array}$$

On a G = D, cela concorde. Cette substitution peut sembler une précaution excessive, mais pour les équations irrationnelles elle fait partie du calcul au même titre que l’élévation au carré elle-même ; sans elle, on n’a pas de résultat fiable. Toute la démarche tient en quatre étapes : isoler la racine, élever au carré, résoudre ce qui reste, puis vérifier.

Pourquoi la vérification est obligatoire

L’élévation au carré n’est pas une transformation équivalente. De l’égalité de deux nombres découle l’égalité de leurs carrés, mais le sens inverse est faux : 3 ≠ − 3, et pourtant 3² = (−3)² = 9. L’élévation au carré peut donc faire apparaître une équation qui a plus de solutions que l’équation d’origine. Regardons l’équation

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Élevons les deux membres au carré et ramenons tout d’un côté :

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Nous obtenons une équation du second degré. Elle se factorise en (x − 2)(x + 1) = 0, les racines sont donc x = 2 et x = −1. Vérifions d’abord avec deux :

$$\begin{array}{rcl}G& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ D& =& 2\end{array}$$

Les deux membres sont égaux, G = D, donc deux est solution. Et moins un ?

$$\begin{array}{rcl}G& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ D& =& -1\end{array}$$

À gauche on obtient un, à droite moins un, donc G ≠ D. Moins un n’est pas solution, même si le calcul l’a fidèlement fourni. L’équation a donc pour unique solution x = 2.

D’où vient cette fausse racine ? Le mieux est de le montrer sur un graphique. Le membre de gauche est la fonction $y=\sqrt{x+2}$ (en rouge), le membre de droite la droite y = x (en bleu). La solution est l’endroit où les deux courbes se coupent, et c’est seulement le point (2 ; 2), donc x = 2.

En pointillés gris est tracée la fonction $y=-\sqrt{x+2}$. Quand on élève au carré $y=\sqrt{x+2}$ et $y=-\sqrt{x+2}$, le signe moins disparaît et les deux donnent la même relation y² = x + 2. L’élévation au carré fusionne donc les équations $\sqrt{x+2}=x$ et $-\sqrt{x+2}=x$ en une seule, et l’équation du second degré trouve alors les intersections des deux. La courbe grise coupe la droite au point (−1 ; −1), et c’est d’elle que vient notre moins un. Seule la vérification permet de repérer à coup sûr un tel intrus.

Le graphique révèle encore autre chose : les deux courbes, rouge et grise, ne commencent qu’en x = −2. Sous la racine, il ne peut pas y avoir de nombre strictement négatif, donc l’équation n’a de sens que pour x ≥ − 2. Le faux moins un tombe dans cet intervalle, la condition ne l’élimine donc pas. Seule la vérification le met en évidence.

Isoler d’abord la racine

Passons à l’équation suivante :

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

On est tenté d’élever au carré tout le membre de gauche, trois compris. Mais le carré d’une somme ne se calcule pas terme à terme, (a + b)² = a² + 2ab + b², de sorte qu’on obtiendrait

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

et la racine resterait dans l’équation, simplement sous une forme plus compliquée. C’est pourquoi on isole d’abord la racine d’un côté et on n’élève au carré qu’ensuite :

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Le membre de droite a été élevé au carré avec la formule (x − 3)² = x² − 6x + 9. L’équation du second degré se factorise en (x − 6)(x − 2) = 0, avec les racines x = 6 et x = 2. Commençons la vérification par six :

$$\begin{array}{rcl}G& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ D& =& 6\end{array}$$

On a G = D, six convient. Passons à deux :

$$\begin{array}{rcl}G& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ D& =& 2\end{array}$$

Quatre n’est pas deux, G ≠ D. Attention, piège. La seule solution est donc x = 6.

Pourquoi deux a-t-il échoué à la vérification ? Après l’isolement, nous avions $\sqrt{2x-3}=x-3$. Une racine carrée est toujours positive ou nulle, donc l’égalité ne peut être vraie que pour les x tels que x − 3 soit au moins nul. Pour x = 2, le membre de droite vaut −1, ce qu’aucune racine ne peut donner. On peut contrôler cette condition à l’avance, mais la substitution à la fin est plus pratique : elle détecte tout en une fois.

Parfois, la vérification n’accepte rien. L’équation $\sqrt{x}+5=1$ devient après isolement $\sqrt{x}=-4$. Après élévation au carré on obtient x = 16, mais la vérification donne $G=\sqrt{16}+5=9$ et D = 1, donc G ≠ D. L’équation n’a aucune solution, ce qui aurait pu être clair dès le début, car une racine carrée ne peut jamais être égale à moins quatre.

Deux racines carrées

Dès qu’une équation contient deux racines, une seule élévation au carré ne suffit généralement pas. La démarche reste la même : isoler, élever au carré et, si une racine subsiste, recommencer le cycle. Essayons cette équation :

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

On ne peut pas isoler les deux racines en même temps, on déplace donc $\sqrt{x}$ à droite pour avoir une racine de chaque côté. Si l’on élevait au carré la différence à gauche, on obtiendrait le produit $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, qui compliquerait beaucoup la résolution. On élève donc au carré :

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

À droite, nous avons de nouveau élevé un binôme au carré, si bien qu’apparaît le terme intermédiaire $2\sqrt{x}$. Heureusement, les termes contenant l’inconnue s’annulent et il ne reste qu’une seule racine :

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Comme nous avons élevé au carré deux fois, la vérification est doublement utile :

$$\begin{array}{rcl}G& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ D& =& 1\end{array}$$

G = D, c’est juste : l’équation a pour solution x = 4.