Irrasjonale likninger

En irrasjonal likning er en likning der den ukjente er gjemt under en rot. Navnet betyr ikke at likningen er ufornuftig, bare at det dukker opp røtter i den, og av dem blir det ofte irrasjonale tall. For eksempel denne:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Vi blir kvitt kvadratroten ved å kvadrere hele likningen. Kvadreringen og kvadratroten opphever hverandre, fordi ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

For sikkerhets skyld gjør vi også en prøve: Vi setter resultatet inn for seg i venstre side av oppgaven (VS) og for seg i høyre side (HS) og sammenligner dem.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{HS}& =& 5\end{array}$$

Vi fikk VS = HS, det stemmer. Denne innsettingen ser ut som overdreven nøyaktighet, men ved irrasjonale likninger hører den til utregningen like mye som selve kvadreringen; uten den har du ikke noe svar. Hele framgangsmåten får plass i fire trinn: isolere kvadratroten, kvadrere likningen, løse ferdig det vi får, og til slutt gjøre en prøve.

Hvorfor prøven er obligatorisk

Kvadrering er ikke en ekvivalent omforming. Av likhet mellom to tall følger riktignok likhet mellom kvadratene deres, men motsatt vei fungerer det ikke: 3 ≠ − 3, og likevel er 3² = (−3)² = 9. Ved kvadrering kan det altså oppstå en likning med flere løsninger enn den opprinnelige. La oss se på likningen

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Vi kvadrerer begge sider og flytter alt over på én side:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Vi fikk en andregradslikning. Den faktoriseres til (x − 2)(x + 1) = 0, løsningene er altså x = 2 og x = −1. Nå er det prøvens tur, først med to:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{HS}& =& 2\end{array}$$

Begge sidene er like, VS = HS, så to er en løsning. Og hva med minus én?

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \mathrm{HS}& =& -1\end{array}$$

På venstre side fikk vi én, på høyre side minus én, så VS ≠ HS. Minus én er ikke en løsning, selv om utregningen ærlig talt ga oss den. Likningen har én eneste løsning, x = 2.

Hvor kom den falske løsningen fra? Det viser bildet best. Venstre side av likningen er funksjonen $y=\sqrt{x+2}$ (rødt), høyre side er linjen y = x (blått). Løsningen av likningen er stedet der de to kurvene skjærer hverandre, og det er bare punktet (2, 2), altså x = 2.

Grått stiplet er funksjonen $y=-\sqrt{x+2}$. Når vi kvadrerer både $y=\sqrt{x+2}$ og $y=-\sqrt{x+2}$, forsvinner minustegnet, og begge blir den samme y² = x + 2. Kvadreringen slår altså likningene $\sqrt{x+2}=x$ og $-\sqrt{x+2}=x$ sammen til én, og andregradslikningen finner så skjæringspunktene til begge. Den grå kurven møter linjen i punktet (−1, −1), og det er nettopp derfra vår minus én kommer. En slik inntrenger avsløres sikkert bare av prøven.

Bildet avslører noe mer: Begge kvadratrøttene, den røde og den grå, begynner først i x = −2. Under rottegnet må det ikke stå et negativt tall, så likningen gir bare mening for x ≥ − 2. Den falske minus én faller innenfor dette området, så forutsetningen fanger den ikke opp. Den kommer for en dag først ved prøven.

Isoler kvadratroten først

La oss ta fatt på neste likning

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Det er veldig fristende å kvadrere venstre side rett fram, sammen med tre. Men kvadratet av en sum regnes ikke ut ledd for ledd, (a + b)² = a² + 2ab + b², så vi ville fått

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

og kvadratroten ville fortsatt lurt i likningen, bare i en styggere form. Derfor isolerer vi først kvadratroten på den ene siden og kvadrerer først etterpå:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Høyre side kvadrerte vi med den samme formelen, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Andregradslikningen faktoriseres til (x − 6)(x − 2) = 0 med løsningene x = 6 og x = 2. Prøven begynner vi med seks:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \mathrm{HS}& =& 6\end{array}$$

Det gjelder VS = HS, seks passer. Nå to:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \mathrm{HS}& =& 2\end{array}$$

Fire er ikke to, VS ≠ HS. En felle! Løsningen er bare x = 6.

Hvorfor strøk to ved prøven? Etter at vi hadde isolert, hadde vi $\sqrt{2x-3}=x-3$. Kvadratroten er aldri negativ, så likningen kan bare gjelde for x der x − 3 er minst null. For x = 2 er høyre side −1, og det kan ingen kvadratrot gi. Denne forutsetningen kan du passe på på forhånd, men innsetting til slutt er bekvemmere og fanger opp alt på én gang.

Noen ganger slipper ikke prøven gjennom noe som helst. Likningen $\sqrt{x}+5=1$ blir etter isoleringen til $\sqrt{x}=-4$. Etter kvadreringen får vi x = 16, men prøven gir $\mathrm{VS}=\sqrt{16}+5=9$ og HS = 1, altså VS ≠ HS. Likningen har ingen løsning, noe som kunne vært klart helt fra begynnelsen, fordi en kvadratrot aldri er lik minus fire.

To kvadratrøtter

Når det møtes to kvadratrøtter i en likning, holder det som regel ikke med én kvadrering. Framgangsmåten endrer seg imidlertid ikke: Isoler, kvadrer, og hvis det blir en rot igjen, gjenta hele runden. La oss prøve denne likningen

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Vi kan ikke isolere begge røttene på en gang, så vi flytter i alle fall $\sqrt{x}$ over til høyre, slik at hver rot står på hver sin side. Hvis vi kvadrerte differansen til venstre, ville vi fått produktet $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, og det ville gjort løsningen skikkelig vanskelig. Slik kvadrerer vi altså:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Til høyre kvadrerte vi igjen et toleddet uttrykk, så det dukket opp et midtledd $2\sqrt{x}$. Heldigvis går x-ene ut mot hverandre, og det står igjen bare én kvadratrot:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Vi kvadrerte to ganger, så prøven er dobbelt så nyttig her:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \mathrm{HS}& =& 1\end{array}$$

VS = HS, det stemmer, likningen har løsningen x = 4.