Rotekvationer

En rotekvation är en ekvation där den obekanta gömmer sig under en kvadratrot. Namnet kommer av att det finns kvadratrötter i den, och ur dem kommer ofta irrationella tal. Till exempel den här:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Vi blir av med rottecknet genom att kvadrera hela ekvationen. Kvadreringen och kvadratroten tar ut varandra, eftersom ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

För säkerhets skull gör vi också en kontroll: vi sätter in resultatet separat i vänsterledet (VL) och separat i högerledet (HL) av den ursprungliga ekvationen och jämför dem.

$$\begin{array}{rcl}\text{VL}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{HL}& =& 5\end{array}$$

Vi fick VL = HL, det stämmer. Den här insättningen ser ut som överdriven noggrannhet, men för rotekvationer hör den till uträkningen lika mycket som själva kvadreringen; utan den har du inget resultat. Hela metoden ryms i fyra steg: isolera rotuttrycket, kvadrera ekvationen, lös det som blir kvar och gör till sist en kontroll.

Varför kontrollen är obligatorisk

Kvadrering är inte en ekvivalent omformning. Av att två tal är lika följer visserligen att deras kvadrater är lika, men åt andra hållet fungerar det inte: 3 ≠ − 3 och ändå är 3² = (−3)² = 9. Genom kvadreringen kan det därför uppstå en ekvation med fler lösningar än den ursprungliga. Titta på ekvationen

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Vi kvadrerar båda sidor och flyttar allt till ena sidan:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Vi har fått en andragradsekvation. Den faktoriseras till (x − 2)(x + 1) = 0, så rötterna är x = 2 och x = −1. Nu är det dags för kontrollen, först med tvåan:

$$\begin{array}{rcl}\text{VL}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{HL}& =& 2\end{array}$$

Båda leden är lika, VL = HL, så tvåan är en lösning. Och minus ett?

$$\begin{array}{rcl}\text{VL}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{HL}& =& -1\end{array}$$

I vänsterledet fick vi ett, i högerledet minus ett, så VL ≠ HL. Minus ett är ingen lösning, trots att uträkningen ärligt gav oss det. Ekvationen har den enda lösningen x = 2.

Var kom den falska roten ifrån? Det syns bäst i en figur. Ekvationens vänsterled är funktionen $y=\sqrt{x+2}$ (rött), högerledet är linjen y = x (blått). Lösningen till ekvationen är den punkt där kurvorna skär varandra, och det är bara punkten (2, 2), alltså x = 2.

Streckad i grått är funktionen $y=-\sqrt{x+2}$. När vi kvadrerar både $y=\sqrt{x+2}$ och $y=-\sqrt{x+2}$ försvinner minustecknet och båda blir samma y² = x + 2. Kvadreringen slår alltså ihop ekvationerna $\sqrt{x+2}=x$ och $-\sqrt{x+2}=x$ till en enda, och andragradsekvationen hittar sedan skärningspunkterna för båda. Den grå kurvan möter linjen i punkten (−1, −1), och just därifrån kommer vårt minus ett. Bara kontrollen avslöjar en sådan inkräktare med säkerhet.

Figuren visar ytterligare en sak: båda kvadratrötterna, den röda och den grå, börjar först vid x = −2. Under rottecknet får det inte stå ett negativt tal, så ekvationen är meningsfull bara för x ≥ − 2. Den falska roten minus ett ligger i det här intervallet, så villkoret fångar den inte. Den kommer fram först vid kontrollen.

Isolera rotuttrycket först

Vi tar oss an nästa ekvation

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Det är väldigt frestande att kvadrera vänsterledet direkt, med trean. Men kvadraten av en summa räknas inte term för term, (a + b)² = a² + 2ab + b², så vi skulle få

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

och rottecknet skulle fortfarande ligga på lur i ekvationen, bara i en fulare form. Därför isolerar vi först rotuttrycket på ena sidan och kvadrerar först sedan:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Högerledet kvadrerade vi med samma formel, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Andragradsekvationen faktoriseras till (x − 6)(x − 2) = 0 med rötterna x = 6 och x = 2. Kontrollen börjar vi med sexan:

$$\begin{array}{rcl}\text{VL}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{HL}& =& 6\end{array}$$

Det gäller att VL = HL, sexan stämmer. Nu tvåan:

$$\begin{array}{rcl}\text{VL}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{HL}& =& 2\end{array}$$

Fyra är inte två, VL ≠ HL. Fällan igen. Lösningen är bara x = 6.

Varför föll tvåan igenom i kontrollen? När vi hade isolerat rotuttrycket fick vi $\sqrt{2x-3}=x-3$. En kvadratrot är aldrig negativ, så ekvationen kan gälla bara för de x där x − 3 är minst noll. För x = 2 är högerledet −1, och det kan ingen kvadratrot ge. Det här villkoret kan du bevaka i förväg, men insättningen i slutet är bekvämare och fångar allt på en gång.

Ibland släpper kontrollen inte igenom något. Ekvationen $\sqrt{x}+5=1$ blir $\sqrt{x}=-4$ när vi isolerar rotuttrycket. Efter kvadreringen får vi x = 16, men kontrollen ger $\text{VL}=\sqrt{16}+5=9$ och HL = 1, alltså VL ≠ HL. Ekvationen har ingen lösning, vilket kunde ha varit klart redan från början, eftersom en kvadratrot aldrig är lika med minus fyra.

Två kvadratrötter

Så fort det finns två kvadratrötter i ekvationen räcker en kvadrering oftast inte. Metoden är ändå densamma: isolera rotuttrycket, kvadrera, och om det blir en kvadratrot kvar upprepar vi hela varvet. Vi provar den här ekvationen

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Båda kvadratrötterna går inte att isolera samtidigt, så vi flyttar åtminstone $\sqrt{x}$ åt höger, så att de står på var sin sida. Om vi kvadrerade differensen i vänsterledet skulle vi få produkten $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, och den skulle komplicera lösningen ordentligt. Så här kvadrerar vi därför:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Till höger kvadrerade vi återigen ett binom, så där dök den mittersta termen $2\sqrt{x}$ upp. Lyckligtvis tar x-termerna ut varandra och bara en enda kvadratrot blir kvar:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Vi kvadrerade två gånger, så kontrollen behövs här dubbelt så mycket:

$$\begin{array}{rcl}\text{VL}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{HL}& =& 1\end{array}$$

VL = HL, det stämmer, ekvationen har lösningen x = 4.