Juuriyhtälöt

Juuriyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on piilossa neliöjuuren sisällä. Nimi kertoo, että yhtälössä esiintyy neliöjuuria, joista tulee usein irrationaalilukuja. Tällainen on esimerkiksi tämä:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Neliöjuuresta päästään eroon korottamalla koko yhtälö toiseen potenssiin. Potenssiin korotus ja neliöjuuri kumoavat toisensa, koska ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Varmuuden vuoksi tehdään vielä tarkistus: tulos sijoitetaan erikseen tehtävänannon vasempaan puoleen (VP) ja erikseen oikeaan puoleen (OP), ja niitä verrataan toisiinsa.

$$\begin{array}{rcl}\text{VP}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{OP}& =& 5\end{array}$$

Saatiin VP = OP, eli tulos täsmää. Sijoitus voi vaikuttaa liialliselta tarkkuudelta, mutta juuriyhtälöissä se kuuluu laskuun yhtä tärkeänä osana kuin itse potenssiin korotus. Ilman sitä sinulla ei ole tulosta. Koko menettely mahtuu neljään vaiheeseen: eristetään juurilauseke, korotetaan yhtälö toiseen potenssiin, ratkaistaan se, mitä saadaan, ja lopuksi tehdään tarkistus.

Miksi tarkistus on pakollinen

Potenssiin korotus ei ole yhtäpitävä muunnos. Kahden luvun yhtäsuuruudesta seuraa kyllä niiden neliöiden yhtäsuuruus, mutta toiseen suuntaan se ei päde: 3 ≠ − 3, ja silti 3² = (−3)² = 9. Potenssiin korottamalla voi siis syntyä yhtälö, jolla on enemmän ratkaisuja kuin alkuperäisellä. Tarkastellaan yhtälöä

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Korotetaan molemmat puolet toiseen potenssiin ja siirretään kaikki yhdelle puolelle:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Saatiin toisen asteen yhtälö. Se jakautuu tekijöihin (x − 2)(x + 1) = 0, joten juuret ovat x = 2 ja x = −1. Nyt tehdään tarkistus, ensin kakkosella:

$$\begin{array}{rcl}\text{VP}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{OP}& =& 2\end{array}$$

Molemmat puolet ovat yhtä suuret, VP = OP, joten kaksi on ratkaisu. Entä miinus yksi?

$$\begin{array}{rcl}\text{VP}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{OP}& =& -1\end{array}$$

Vasemmalle puolelle tuli yksi, oikealle miinus yksi, joten VP ≠ OP. Miinus yksi ei ole ratkaisu, vaikka lasku antoi sen rehellisesti. Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, x = 2.

Mistä tämä valejuuri tuli? Parhaiten sen näyttää kuva. Yhtälön vasen puoli on funktio $y=\sqrt{x+2}$ (punaisella) ja oikea puoli suora y = x (sinisellä). Yhtälön ratkaisu on kohta, jossa viivat leikkaavat, ja se on vain piste (2, 2), eli x = 2.

Harmaana katkoviivalla on funktio $y=-\sqrt{x+2}$. Kun sekä $y=\sqrt{x+2}$ että $y=-\sqrt{x+2}$ korotetaan toiseen potenssiin, miinus katoaa ja molemmista tulee sama y² = x + 2. Potenssiin korotus yhdistää siis yhtälöt $\sqrt{x+2}=x$ ja $-\sqrt{x+2}=x$ yhdeksi, ja toisen asteen yhtälö löytää molempien leikkauspisteet. Harmaa käyrä kohtaa suoran pisteessä (−1, −1), ja juuri sieltä tuo miinus yksi on peräisin. Tällaisen tunkeilijan paljastaa luotettavasti vain tarkistus.

Kuva kertoo vielä jotain: molemmat neliöjuuret, punainen ja harmaa, alkavat vasta kohdasta x = −2. Neliöjuuren sisällä ei saa olla negatiivista lukua, joten yhtälöllä on merkitys vain, kun x ≥ − 2. Valejuuri miinus yksi kuuluu tähän väliin, eikä ehto siksi paljasta sitä. Se tulee esiin vasta tarkistuksessa.

Eristä juurilauseke ensin

Otetaan seuraava yhtälö

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Houkuttelee kovasti korottaa vasen puoli kolmosineen toiseen potenssiin. Summan neliötä ei kuitenkaan lasketa termi kerrallaan, (a + b)² = a² + 2ab + b², joten saataisiin

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

ja neliöjuuri vaanisi yhtälössä yhä, vain rumemmassa muodossa. Siksi juurilauseke eristetään ensin yhdelle puolelle ja potenssiin korotetaan vasta sen jälkeen:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Oikea puoli korotettiin toiseen potenssiin samalla kaavalla, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Toisen asteen yhtälö jakautuu tekijöihin (x − 6)(x − 2) = 0, ja juuret ovat x = 6 ja x = 2. Tarkistus aloitetaan kuutosella:

$$\begin{array}{rcl}\text{VP}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{OP}& =& 6\end{array}$$

Pätee VP = OP, joten kuusi kelpaa. Sitten kakkonen:

$$\begin{array}{rcl}\text{VP}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{OP}& =& 2\end{array}$$

Neljä ei ole kaksi, VP ≠ OP. Ansa. Ratkaisu on vain x = 6.

Miksi kakkonen kaatui tarkistuksessa? Eristämisen jälkeen oli $\sqrt{2x-3}=x-3$. Neliöjuuri ei koskaan ole negatiivinen, joten yhtälö voi päteä vain niillä x:n arvoilla, joilla x − 3 on vähintään nolla. Kun x = 2, oikea puoli on −1, eikä mikään neliöjuuri anna sitä. Tämän ehdon voi tarkistaa etukäteen, mutta sijoitus lopuksi on kätevämpi ja paljastaa kaiken kerralla.

Joskus tarkistus ei päästä läpi mitään. Yhtälö $\sqrt{x}+5=1$ muuttuu eristämisen jälkeen muotoon $\sqrt{x}=-4$. Potenssiin korotuksen jälkeen saadaan x = 16, mutta tarkistus antaa $\text{VP}=\sqrt{16}+5=9$ ja OP = 1, eli VP ≠ OP. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, mikä olisi voinut olla selvää jo alusta asti, koska neliöjuuri ei koskaan ole yhtä suuri kuin miinus neljä.

Kaksi neliöjuurta

Heti kun yhtälössä on kaksi neliöjuurta, yksi potenssiin korotus ei yleensä riitä. Menettely ei kuitenkaan muutu: eristetään, korotetaan potenssiin ja jos neliöjuuri jää jäljelle, koko kierros toistetaan. Kokeillaan tätä yhtälöä

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Kumpaakaan neliöjuurta ei voi eristää yksin, joten siirretään ainakin $\sqrt{x}$ oikealle, jotta kumpikin neliöjuuri on eri puolella. Jos vasemman puolen erotus korotettaisiin potenssiin, saataisiin tulo $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, ja se hankaloittaisi ratkaisua kunnolla. Korotetaan siis näin:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Oikealla puolella korotettiin jälleen binomi toiseen potenssiin, joten sinne ilmestyi keskimmäinen termi $2\sqrt{x}$. Onneksi x:t kumoavat toisensa ja jäljelle jää vain yksi neliöjuuri:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Potenssiin korotettiin kahdesti, joten tarkistus on tässä kaksin verroin tarpeen:

$$\begin{array}{rcl}\text{VP}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{OP}& =& 1\end{array}$$

VP = OP, täsmää, joten yhtälön ratkaisu on x = 4.