Ірраціональні рівняння

Ірраціональне рівняння — це рівняння, в якому невідома сховалася під коренем. Назва не означає, що рівняння нерозумне, а лише те, що в ньому з'являються корені, значення яких часто є ірраціональними числами. Ось, наприклад, таке:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Кореня ми позбудемося, піднісши все рівняння до квадрата. Піднесення до квадрата і добування кореня взаємно скасовуються, бо ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Про всяк випадок ще зробимо перевірку: результат підставимо окремо в ліву частину заданого рівняння (Л) і окремо в праву (П) та порівняємо їх.

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{П}& =& 5\end{array}$$

Вийшло Л = П, збігається. Ця підстановка здається надмірною ретельністю, але в ірраціональних рівняннях вона є такою самою частиною розв'язання, як і саме піднесення до квадрата; без неї результату в тебе немає. Увесь порядок дій вміщується в чотири кроки: відокремити корінь, піднести рівняння до квадрата, розв'язати те, що вийшло, і наприкінці зробити перевірку.

Чому перевірка обов'язкова

Піднесення до квадрата не є рівносильним перетворенням. З рівності двох чисел випливає рівність їхніх квадратів, але у зворотний бік це не працює: 3 ≠ − 3, а водночас 3² = (−3)² = 9. Тому після піднесення до квадрата може вийти рівняння з більшою кількістю розв'язків, ніж мало початкове. Розгляньмо рівняння

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Підносимо обидві частини до квадрата й переносимо все в один бік:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Ми отримали квадратне рівняння. Воно розкладається на (x − 2)(x + 1) = 0, тож його корені — x = 2 і x = −1. Тепер настав час перевірки, спершу для двійки:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{П}& =& 2\end{array}$$

Обидві частини рівні, Л = П, отже, двійка є розв'язком. А що з мінус одиницею?

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{П}& =& -1\end{array}$$

Зліва вийшла одиниця, справа мінус одиниця, тож Л ≠ П. Мінус одиниця розв'язком не є, хоча обчислення чесно нам її видало. Рівняння має єдиний розв'язок x = 2.

Звідки взявся цей сторонній корінь? Найкраще це показує рисунок. Ліва частина рівняння — це функція $y=\sqrt{x+2}$ (червона), права частина — пряма y = x (синя). Розв'язок рівняння — це місце, де обидві лінії перетинаються, а це лише точка (2; 2), тобто x = 2.

Сірим пунктиром зображено функцію $y=-\sqrt{x+2}$. Коли ми підносимо до квадрата і $y=\sqrt{x+2}$, і $y=-\sqrt{x+2}$, мінус зникає, і з обох виходить те саме y² = x + 2. Отже, піднесення до квадрата зливає рівняння $\sqrt{x+2}=x$ і $-\sqrt{x+2}=x$ в одне, а квадратне рівняння знаходить точки перетину обох графіків. Сіра крива перетинає пряму в точці (−1; −1), і саме звідти походить наша мінус одиниця. Такого непроханого гостя надійно викриє лише перевірка.

Рисунок підказує ще дещо: обидва корені, червоний і сірий, починаються тільки в точці x = −2. Під коренем не може стояти від'ємне число, тому рівняння має сенс лише для x ≥ − 2. Хибна мінус одиниця потрапляє в цей проміжок, тож умова її не відсіє. Витягне її на світло тільки перевірка.

Спершу відокремити корінь

Візьмемо ще одне рівняння

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Дуже кортить одразу піднести до квадрата ліву частину разом із трійкою. Але квадрат суми не обчислюється почленно, (a + b)² = a² + 2ab + b², тож вийшло б

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

і корінь у рівнянні нікуди б не подівся, лише став би потворнішим. Тому корінь спершу відокремлюємо в одній частині, а підносимо до квадрата вже потім:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Праву частину ми піднесли до квадрата за тією самою формулою, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Квадратне рівняння розкладається на (x − 6)(x − 2) = 0 і має корені x = 6 та x = 2. Перевірку почнемо із шістки:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{П}& =& 6\end{array}$$

Виконується Л = П, шістка підходить. Тепер двійка:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{П}& =& 2\end{array}$$

Чотири — це не два, Л ≠ П. Не збігається. Розв'язок лише один — x = 6.

Чому двійка не пройшла перевірку? Після відокремлення кореня ми мали $\sqrt{2x-3}=x-3$. Квадратний корінь ніколи не буває від'ємним, тож рівність може виконуватися лише для тих x, для яких x − 3 не менше за нуль. Для x = 2 права частина дорівнює −1, а такого значення жоден корінь не дасть. Цю умову можна врахувати заздалегідь, але підстановка наприкінці зручніша й відловлює все одразу.

Іноді перевірка не пропускає нічого. Рівняння $\sqrt{x}+5=1$ після відокремлення кореня перетворюється на $\sqrt{x}=-4$. Після піднесення до квадрата виходить x = 16, але перевірка дає $\text{Л}=\sqrt{16}+5=9$ і П = 1, тобто Л ≠ П. Рівняння не має жодного розв'язку, що могло бути ясно від самого початку, бо квадратний корінь ніколи не дорівнює мінус чотирьом.

Два корені

Щойно в рівнянні зустрічаються два корені, одного піднесення до квадрата зазвичай не вистачає. Порядок дій, однак, не змінюється: відокремити, піднести до квадрата і, якщо корінь залишився, повторити все спочатку. Спробуймо таке рівняння

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Обидва корені одразу відокремити не можна, тож принаймні перенесемо $\sqrt{x}$ праворуч, щоб кожен корінь був в іншій частині. Якби ми підносили до квадрата різницю ліворуч, вийшов би добуток $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, який добряче ускладнив би розв'язання. Отже, підносимо так:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Праворуч ми знову підносили до квадрата двочлен, тому там з'явився середній член $2\sqrt{x}$. На щастя, ікси скоротяться, і залишиться один корінь:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Ми підносили до квадрата двічі, тож перевірка тут потрібна вдвічі більше:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{П}& =& 1\end{array}$$

Л = П, збігається, рівняння має розв'язок x = 4.