Άρρητες εξισώσεις

Άρρητη εξίσωση είναι η εξίσωση στην οποία ο άγνωστος κρύβεται κάτω από ρίζα. Το όνομα δεν σημαίνει ότι η εξίσωση είναι παράλογη, απλώς ότι εμφανίζονται σε αυτήν ρίζες, από τις οποίες συχνά προκύπτουν άρρητοι αριθμοί. Για παράδειγμα, αυτή:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Απαλλασσόμαστε από τη ρίζα ανεβάζοντας ολόκληρη την εξίσωση στο τετράγωνο. Η ύψωση στο τετράγωνο και η ρίζα αλληλοεξουδετερώνονται, επειδή ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Για σιγουριά κάνουμε ακόμη επαλήθευση: αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα χωριστά στο πρώτο μέλος της εξίσωσης (M₁) και χωριστά στο δεύτερο (M₂) και τα συγκρίνουμε.

$$\begin{array}{rcl}{M}_1& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ M_2& =& 5\end{array}$$

Βγήκε M₁ = M₂, συμφωνεί. Αυτή η αντικατάσταση μοιάζει με υπερβολική σχολαστικότητα, όμως στις άρρητες εξισώσεις ανήκει στον υπολογισμό όσο και η ίδια η ύψωση στο τετράγωνο· χωρίς αυτήν δεν έχεις αποτέλεσμα. Ολόκληρη η διαδικασία χωράει σε τέσσερα βήματα: απομονώνουμε τη ρίζα, υψώνουμε την εξίσωση στο τετράγωνο, λύνουμε ό,τι προκύψει και στο τέλος κάνουμε επαλήθευση.

Γιατί η επαλήθευση είναι υποχρεωτική

Η ύψωση στο τετράγωνο δεν είναι ισοδύναμη μετατροπή. Από την ισότητα δύο αριθμών προκύπτει μεν η ισότητα των τετραγώνων τους, αλλά αντίστροφα δεν ισχύει: 3 ≠ − 3, και παρ' όλα αυτά 3² = (−3)² = 9. Με την ύψωση στο τετράγωνο μπορεί έτσι να προκύψει εξίσωση με περισσότερες λύσεις από την αρχική. Ας δούμε την εξίσωση

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο και περνάμε τα πάντα στο ένα μέλος:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Πήραμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αναλύεται σε (x − 2)(x + 1) = 0, άρα οι ρίζες της είναι x = 2 και x = −1. Έρχεται η επαλήθευση, πρώτα με το δύο:

$$\begin{array}{rcl}{M}_1& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ M_2& =& 2\end{array}$$

Τα δύο μέλη είναι ίσα, M₁ = M₂, άρα το δύο είναι λύση. Και το μείον ένα;

$$\begin{array}{rcl}{M}_1& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ M_2& =& -1\end{array}$$

Στο πρώτο μέλος βγήκε ένα, στο δεύτερο μείον ένα, επομένως M₁ ≠ M₂. Το μείον ένα δεν είναι λύση, παρόλο που ο υπολογισμός μας το έδωσε τίμια-τίμια. Η εξίσωση έχει μία μόνο λύση, x = 2.

Από πού προήλθε αυτή η ψεύτικη ρίζα; Το δείχνει καλύτερα το σχήμα. Το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι η συνάρτηση $y=\sqrt{x+2}$ (με κόκκινο), το δεύτερο μέλος η ευθεία y = x (με μπλε). Λύση της εξίσωσης είναι το σημείο όπου τέμνονται οι δύο γραμμές, και αυτό είναι μόνο το σημείο (2, 2), δηλαδή x = 2.

Με γκρι διακεκομμένη γραμμή φαίνεται η συνάρτηση $y=-\sqrt{x+2}$. Όταν υψώσουμε στο τετράγωνο και την $y=\sqrt{x+2}$ και την $y=-\sqrt{x+2}$, το μείον εξαφανίζεται και από τις δύο προκύπτει η ίδια εξίσωση y² = x + 2. Η ύψωση στο τετράγωνο συγχωνεύει έτσι τις εξισώσεις $\sqrt{x+2}=x$ και $-\sqrt{x+2}=x$ σε μία, και η εξίσωση δευτέρου βαθμού βρίσκει τα σημεία τομής και των δύο. Η γκρι καμπύλη συναντά την ευθεία στο σημείο (−1, −1), και ακριβώς από εκεί προέρχεται το δικό μας μείον ένα. Έναν τέτοιο εισβολέα τον αποκαλύπτει αξιόπιστα μόνο η επαλήθευση.

Το σχήμα φανερώνει και κάτι ακόμη: και οι δύο ρίζες, η κόκκινη και η γκρι, ξεκινούν μόλις από το x = −2. Κάτω από τη ρίζα δεν επιτρέπεται αρνητικός αριθμός, επομένως η εξίσωση έχει νόημα μόνο για x ≥ − 2. Το ψεύτικο μείον ένα ανήκει σε αυτό το διάστημα, γι' αυτό ο περιορισμός δεν το πιάνει. Στο φως το βγάζει μόνο η επαλήθευση.

Πρώτα απομονώνουμε τη ρίζα

Ας πάρουμε την επόμενη εξίσωση

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Είναι πολύ δελεαστικό να υψώσουμε αμέσως στο τετράγωνο το πρώτο μέλος μαζί με το τρία. Όμως το τετράγωνο αθροίσματος δεν υπολογίζεται όρο προς όρο, (a + b)² = a² + 2ab + b², οπότε θα προέκυπτε

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

και η ρίζα θα παραμόνευε ακόμη στην εξίσωση, απλώς σε χειρότερη μορφή. Γι' αυτό πρώτα απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος και υψώνουμε στο τετράγωνο μόνο μετά:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Το δεύτερο μέλος το υψώσαμε στο τετράγωνο με τον ίδιο τύπο, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Η εξίσωση δευτέρου βαθμού αναλύεται σε (x − 6)(x − 2) = 0 με ρίζες x = 6 και x = 2. Την επαλήθευση την ξεκινάμε με το έξι:

$$\begin{array}{rcl}{M}_1& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ M_2& =& 6\end{array}$$

Ισχύει M₁ = M₂, το έξι ικανοποιεί την εξίσωση. Τώρα το δύο:

$$\begin{array}{rcl}{M}_1& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ M_2& =& 2\end{array}$$

Το τέσσερα δεν είναι δύο, M₁ ≠ M₂. Εδώ είναι η παγίδα. Λύση είναι μόνο το x = 6.

Γιατί το δύο απέτυχε στην επαλήθευση; Μετά την απομόνωση είχαμε $\sqrt{2x-3}=x-3$. Η ρίζα δεν είναι ποτέ αρνητική, άρα η εξίσωση μπορεί να ισχύει μόνο για εκείνα τα x για τα οποία το x − 3 είναι τουλάχιστον μηδέν. Για x = 2 το δεύτερο μέλος είναι −1, και αυτό καμία ρίζα δεν το δίνει. Αυτόν τον περιορισμό μπορείς να τον ελέγξεις και από πριν, όμως η αντικατάσταση στο τέλος είναι πιο βολική και πιάνει τα πάντα με τη μία.

Μερικές φορές η επαλήθευση δεν αφήνει να περάσει τίποτα. Η εξίσωση $\sqrt{x}+5=1$ μετά την απομόνωση γίνεται $\sqrt{x}=-4$. Μετά την ύψωση στο τετράγωνο βγαίνει x = 16, όμως η επαλήθευση δίνει $M_1=\sqrt{16}+5=9$ και M₂ = 1, άρα M₁ ≠ M₂. Η εξίσωση δεν έχει καμία λύση, κάτι που θα μπορούσε να είναι σαφές από την αρχή, αφού η ρίζα δεν είναι ποτέ ίση με το μείον τέσσερα.

Δύο ρίζες

Μόλις συναντηθούν σε μια εξίσωση δύο ρίζες, μία ύψωση στο τετράγωνο συνήθως δεν αρκεί. Η διαδικασία όμως δεν αλλάζει: απομονώνουμε, υψώνουμε στο τετράγωνο και, αν μείνει ρίζα, επαναλαμβάνουμε ολόκληρο τον κύκλο. Ας δοκιμάσουμε αυτή την εξίσωση

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Και τις δύο ρίζες μαζί δεν μπορούμε να τις απομονώσουμε, γι' αυτό τουλάχιστον μεταφέρουμε το $\sqrt{x}$ δεξιά, ώστε κάθε ρίζα να βρίσκεται σε διαφορετικό μέλος. Αν υψώναμε στο τετράγωνο τη διαφορά στο πρώτο μέλος, θα εμφανιζόταν το γινόμενο $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, και αυτό θα περιέπλεκε σοβαρά τη λύση. Έτσι λοιπόν υψώνουμε στο τετράγωνο:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Στο δεύτερο μέλος υψώσαμε πάλι ένα διώνυμο στο τετράγωνο, γι' αυτό εμφανίστηκε ο μεσαίος όρος $2\sqrt{x}$. Ευτυχώς οι όροι με τον άγνωστο αλληλοαναιρούνται και μένει μία μόνο ρίζα:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Υψώσαμε δύο φορές στο τετράγωνο, επομένως η επαλήθευση εδώ χρειάζεται διπλά:

$$\begin{array}{rcl}{M}_1& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ M_2& =& 1\end{array}$$

M₁ = M₂, ταιριάζει, η εξίσωση έχει λύση x = 4.