Wortelvergelijkingen

Een irrationale vergelijking, of wortelvergelijking, is een vergelijking waarin de onbekende onder een wortel staat. De naam betekent niet dat de vergelijking onredelijk zou zijn, alleen dat er wortels in voorkomen, waaruit vaak irrationale getallen komen. Bijvoorbeeld deze:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Van de wortel komen we af door de hele vergelijking te kwadrateren. Kwadrateren en wortel trekken heffen elkaar op, want ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Voor de zekerheid voeren we nog een controle uit: we vullen de oplossing apart in de linkerkant van de opgave in (L) en apart in de rechterkant (R) en vergelijken ze.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ R& =& 5\end{array}$$

Er kwam L = R uit, het klopt. Dit invullen lijkt overdreven nauwkeurig, maar bij wortelvergelijkingen hoort het net zo bij de berekening als het kwadrateren zelf; zonder controle heb je de oplossing niet. De hele werkwijze past in vier stappen: de wortel vrijmaken, de vergelijking kwadrateren, afmaken wat eruit komt en tot slot de controle uitvoeren.

Waarom de controle verplicht is

Kwadrateren is geen equivalente bewerking. Uit de gelijkheid van twee getallen volgt wel de gelijkheid van hun kwadraten, maar andersom werkt het niet: 3 ≠ − 3 en toch is 3² = (−3)² = 9. Door te kwadrateren kan dus een vergelijking ontstaan met meer oplossingen dan de oorspronkelijke. We bekijken de vergelijking

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Beide kanten kwadrateren we en alles brengen we naar één kant:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

We hebben een kwadratische vergelijking gekregen. Die ontbindt in (x − 2)(x + 1) = 0, de oplossingen zijn dus x = 2 en x = −1. Nu komt de controle aan de beurt, eerst met twee:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ R& =& 2\end{array}$$

Beide kanten zijn gelijk, L = R, twee is dus een oplossing. En min één?

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ R& =& -1\end{array}$$

Links kwam één uit, rechts min één, dus L ≠ R. Min één is geen oplossing, hoewel de berekening hem ons braaf heeft opgeleverd. De vergelijking heeft één oplossing x = 2.

Waar kwam die schijnoplossing vandaan? Dat laat de figuur het best zien. De linkerkant van de vergelijking is de functie $y=\sqrt{x+2}$ (rood), de rechterkant de lijn y = x (blauw). De oplossing van de vergelijking is de plaats waar beide grafieken elkaar snijden, en dat is alleen het punt (2, 2), dus x = 2.

Grijs gestreept is de functie $y=-\sqrt{x+2}$. Als we zowel $y=\sqrt{x+2}$ als $y=-\sqrt{x+2}$ kwadrateren, verdwijnt de min en krijgen we in beide gevallen hetzelfde: y² = x + 2. Kwadrateren voegt de vergelijkingen $\sqrt{x+2}=x$ en $-\sqrt{x+2}=x$ dus samen tot één en de kwadratische vergelijking vindt dan de snijpunten van beide. De grijze kromme ontmoet de lijn in het punt (−1, −1), en precies daar komt onze min één vandaan. Zo'n indringer ontmaskert alleen de controle betrouwbaar.

De figuur verraadt nog iets: beide wortels, de rode en de grijze, beginnen pas in x = −2. Onder de wortel mag geen negatief getal staan, dus de vergelijking heeft alleen betekenis voor x ≥ − 2. De onechte min één valt binnen dit gebied, de voorwaarde vangt hem dus niet op. Pas de controle haalt hem aan het licht.

Eerst de wortel vrijmaken

We gaan aan de slag met een volgende vergelijking

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Het is enorm verleidelijk om meteen de linkerkant met de drie erbij te kwadrateren. Maar het kwadraat van een som reken je niet term voor term uit, (a + b)² = a² + 2ab + b², dus we zouden krijgen

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

en de wortel zou nog steeds in de vergelijking op de loer liggen, alleen in een lelijkere vorm. Daarom maken we de wortel eerst vrij aan één kant en kwadrateren we pas daarna:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

De rechterkant hebben we met dezelfde formule gekwadrateerd, (x − 3)² = x² − 6x + 9. De kwadratische vergelijking ontbindt in (x − 6)(x − 2) = 0 met de oplossingen x = 6 en x = 2. De controle beginnen we met zes:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ R& =& 6\end{array}$$

Er geldt L = R, zes voldoet. Nu twee:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ R& =& 2\end{array}$$

Vier is niet twee, L ≠ R. Pech. De oplossing is alleen x = 6.

Waarom viel twee bij de controle door de mand? Na het vrijmaken hadden we $\sqrt{2x-3}=x-3$. Een wortel is nooit negatief, dus de vergelijking kan alleen gelden voor x waarvoor x − 3 minstens nul is. Voor x = 2 is de rechterkant −1, en dat geeft geen enkele wortel. Deze voorwaarde kun je vooraf bewaken, maar invullen aan het eind is gemakkelijker en vangt alles in één keer op.

Soms laat de controle niets door. De vergelijking $\sqrt{x}+5=1$ verandert na het vrijmaken in $\sqrt{x}=-4$. Na het kwadrateren komt er x = 16 uit, maar de controle geeft $L=\sqrt{16}+5=9$ en R = 1, dus L ≠ R. De vergelijking heeft geen enkele oplossing, wat al van het begin af aan duidelijk had kunnen zijn, omdat een wortel nooit gelijk is aan min vier.

Twee wortels

Zodra er in de vergelijking twee wortels samenkomen, volstaat één keer kwadrateren meestal niet. De werkwijze verandert echter niet: vrijmaken, kwadrateren en als er een wortel overblijft de hele ronde herhalen. We proberen deze vergelijking

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Beide wortels tegelijk vrijmaken kan niet, dus we verplaatsen in elk geval $\sqrt{x}$ naar rechts, zodat elke wortel aan een andere kant staat. Als we het verschil links zouden kwadrateren, zouden we het product $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$ krijgen, en dat zou de oplossing flink ingewikkelder maken. Zo kwadrateren we dus:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Rechts hebben we opnieuw een tweeterm gekwadrateerd, dus daar verscheen de middelste term $2\sqrt{x}$. De x'en vallen gelukkig tegen elkaar weg en er blijft één wortel over:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

We hebben twee keer gekwadrateerd, dus de controle komt hier dubbel van pas:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ R& =& 1\end{array}$$

L = R, het klopt, de vergelijking heeft de oplossing x = 4.