Rodligninger

En rodligning er en ligning, hvor den ubekendte gemmer sig under en kvadratrod. Navnet betyder ikke, at ligningen er noget rod, kun at der i den optræder kvadratrødder, som ofte giver irrationale tal. For eksempel denne:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Kvadratroden slipper vi af med ved at kvadrere hele ligningen. Kvadreringen og kvadratroden ophæver hinanden, fordi ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Til sikkerhed laver vi desuden en prøve: vi indsætter resultatet for sig i venstre side af den givne ligning (VS) og for sig i højre side (HS) og sammenligner dem.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{HS}& =& 5\end{array}$$

Vi fik VS = HS, det stemmer. Denne indsættelse ser ud som overdreven grundighed, men ved rodligninger hører den lige så meget med til udregningen som selve kvadreringen; uden den har du ikke noget resultat. Hele fremgangsmåden kan samles i fire trin: isolere rodudtrykket, kvadrere ligningen, løse det, vi får, og til sidst lave en prøve.

Hvorfor prøven er obligatorisk

Kvadrering er ikke en ækvivalent omformning. Af, at to tal er ens, følger det godt nok, at deres kvadrater er ens, men den anden vej virker det ikke: 3 ≠ − 3, og alligevel er 3² = (−3)² = 9. Ved kvadrering kan der derfor opstå en ligning med flere løsninger, end den oprindelige havde. Vi ser på ligningen

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Vi kvadrerer begge sider og flytter alt over på den ene side:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Vi fik en andengradsligning. Den opløses i (x − 2)(x + 1) = 0, løsningerne er altså x = 2 og x = −1. Nu kommer prøven, først med to:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{HS}& =& 2\end{array}$$

Begge sider er lige store, VS = HS, så to er en løsning. Og hvad med minus én?

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \mathrm{HS}& =& -1\end{array}$$

Til venstre fik vi én, til højre minus én, så VS ≠ HS. Minus én er ikke en løsning, selvom udregningen redeligt spyttede den ud. Ligningen har netop én løsning, x = 2.

Hvor kom den falske løsning fra? Det viser figuren bedst. Venstre side af ligningen er funktionen $y=\sqrt{x+2}$ (rød), højre side er linjen y = x (blå). Løsningen til ligningen er stedet, hvor de to kurver skærer hinanden, og det er kun punktet (2, 2), altså x = 2.

Grå og stiplet er funktionen $y=-\sqrt{x+2}$. Når vi kvadrerer både $y=\sqrt{x+2}$ og $y=-\sqrt{x+2}$, forsvinder minusset, og begge bliver til samme y² = x + 2. Kvadreringen smelter altså ligningerne $\sqrt{x+2}=x$ og $-\sqrt{x+2}=x$ sammen til én, og andengradsligningen finder så skæringspunkterne for dem begge. Den grå kurve møder linjen i punktet (−1, −1), og det er netop derfra, vores minus én stammer. Sådan en ubuden gæst afsløres pålideligt kun af prøven.

Figuren afslører noget mere: begge kvadratrødder, den røde og den grå, begynder først ved x = −2. Under rodtegnet må der ikke stå et negativt tal, så ligningen giver kun mening for x ≥ − 2. Den falske minus én falder inden for dette område, så betingelsen fanger den ikke. Det er først prøven, der bringer den for en dag.

Først isolerer vi rodudtrykket

Vi går i gang med den næste ligning

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Det er meget fristende at kvadrere venstre side direkte sammen med tretallet. Men kvadratet på en sum regnes ikke led for led, (a + b)² = a² + 2ab + b², så der ville komme

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

og kvadratroden ville stadig lure i ligningen, bare i en grimmere form. Derfor isolerer vi først kvadratroden på den ene side og kvadrerer først bagefter:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Højre side har vi kvadreret med samme formel, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Andengradsligningen opløses i (x − 6)(x − 2) = 0 med løsningerne x = 6 og x = 2. Prøven begynder vi med seks:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \mathrm{HS}& =& 6\end{array}$$

Der gælder VS = HS, seks passer. Nu to:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \mathrm{HS}& =& 2\end{array}$$

Fire er ikke to, VS ≠ HS. Pas på! Løsningen er kun x = 6.

Hvorfor dumpede to ved prøven? Efter isoleringen havde vi $\sqrt{2x-3}=x-3$. Kvadratroden er aldrig negativ, så ligningen kan kun gælde for de x, hvor x − 3 er mindst nul. For x = 2 er højre side −1, og det kan ingen kvadratrod give. Denne betingelse kan du holde øje med på forhånd, men indsættelsen til sidst er mere bekvem og fanger alt på én gang.

Nogle gange lader prøven intet slippe igennem. Ligningen $\sqrt{x}+5=1$ ændrer sig efter isoleringen til $\sqrt{x}=-4$. Efter kvadrering kommer x = 16, men prøven giver $\mathrm{VS}=\sqrt{16}+5=9$ og HS = 1, altså VS ≠ HS. Ligningen har ingen løsning, hvilket kunne have været klart fra begyndelsen, fordi en kvadratrod aldrig er lig med minus fire.

To kvadratrødder

Så snart der optræder to kvadratrødder i en ligning, er én kvadrering som regel ikke nok. Fremgangsmåden ændrer sig dog ikke: isoler, kvadrer, og hvis der er en kvadratrod tilbage, gentag hele runden. Vi prøver denne ligning

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Begge kvadratrødder kan vi ikke isolere på én gang, så vi flytter i det mindste $\sqrt{x}$ over til højre, så hver kvadratrod står på hver sin side. Hvis vi kvadrerede forskellen til venstre, ville vi få produktet $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, og det ville komplicere løsningen ordentligt. Sådan kvadrerer vi altså:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Til højre har vi igen kvadreret et toleddet udtryk, så der kom et mellemled $2\sqrt{x}$ med. Heldigvis går x'erne ud med hinanden, og der bliver kun én kvadratrod tilbage:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Vi har kvadreret to gange, så prøven kommer dobbelt til nytte:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{VS}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \mathrm{HS}& =& 1\end{array}$$

VS = HS, det passer, ligningen har løsningen x = 4.