Köklü Denklemler

Köklü denklem, bilinmeyenin kökün altında gizlendiği denklemdir. İrrasyonel denklem de denir; bu ad denklemin mantıksız olduğu anlamına gelmez, yalnızca içinde kökler göründüğünü söyler, o köklerden de çoğu zaman irrasyonel sayılar çıkar. Örneğin şu denklem:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Kökten kurtulmak için denklemin her iki tarafının karesini alırız. Kare alma ile karekök birbirini götürür, çünkü ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Garanti olsun diye doğrulama yapalım: sonucu verilen denklemin sol tarafına (Sol) ve sağ tarafına (Sağ) ayrı ayrı yazıp karşılaştıralım.

$$\begin{array}{rcl}\text{Sol}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{Sağ}& =& 5\end{array}$$

Sol = Sağ çıktı, uyuyor. Bu yerine yazma işlemi aşırı titizlik gibi görünür, ama köklü denklemlerde kare alma işlemi kadar hesabın parçasıdır; o olmadan elinde bir sonuç yoktur. Bütün yöntem dört adıma sığar: kökü yalnız bırakmak, denklemin karesini almak, ortaya çıkanı çözmek ve en sonunda doğrulama yapmak.

Doğrulama Neden Zorunlu

Kare alma, denk işlem değildir. İki sayının eşitliğinden karelerinin eşitliği çıkar, ama ters yönde bu işlemez: 3 ≠ − 3, buna rağmen 3² = (−3)² = 9. Bu yüzden kare alınca, ilk denklemden daha fazla çözümü olan bir denklem ortaya çıkabilir. Şu denkleme bakalım:

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Her iki tarafın karesini alıp her şeyi bir tarafa toplayalım:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

İkinci dereceden bir denklem elde ettik. (x − 2)(x + 1) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır, dolayısıyla çözümleri x = 2 ve x = −1 olur. Sıra doğrulamada, önce ikiyle:

$$\begin{array}{rcl}\text{Sol}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{Sağ}& =& 2\end{array}$$

İki taraf eşit, Sol = Sağ, yani iki bir çözümdür. Peki eksi bir?

$$\begin{array}{rcl}\text{Sol}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{Sağ}& =& -1\end{array}$$

Solda bir, sağda eksi bir çıktı, yani Sol ≠ Sağ. Eksi bir çözüm değildir, hesap onu bize dürüstçe çıkarmış olsa da. Denklemin tek çözümü x = 2.

Bu yabancı kök nereden geldi? En iyi şekil gösterir. Denklemin sol tarafı $y=\sqrt{x+2}$ fonksiyonudur (kırmızı), sağ tarafı ise y = x doğrusudur (mavi). Denklemin çözümü iki çizginin kesiştiği yerdir ve bu yalnızca (2, 2) noktasıdır, yani x = 2.

Gri kesikli çizgi $y=-\sqrt{x+2}$ fonksiyonudur. $y=\sqrt{x+2}$ ve $y=-\sqrt{x+2}$ ifadelerinin karesini aldığımızda eksi kaybolur ve ikisinden de aynı y² = x + 2 çıkar. Yani kare alma, $\sqrt{x+2}=x$ ve $-\sqrt{x+2}=x$ denklemlerini tek denklemde birleştirir; ikinci dereceden denklem de ikisinin kesişim noktalarını bulur. Gri eğri doğruyla (−1, −1) noktasında buluşur ve eksi birimiz tam olarak oradan gelir. Böyle bir davetsiz misafiri kesin olarak ancak doğrulama ortaya çıkarır.

Şekil bir şey daha gösteriyor: kırmızı ve gri iki kök de ancak x = −2’de başlıyor. Kökün altında negatif bir sayı olamaz, bu yüzden denklem yalnızca x ≥ − 2 için anlamlıdır. Yabancı eksi bir bu aralığa düşer, dolayısıyla koşul onu yakalamaz. Onu ortaya çıkaran ancak doğrulamadır.

Önce Kökü Yalnız Bırak

Başka bir denkleme geçelim:

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Sol tarafın hemen, üçle birlikte karesini almak çok cazip gelir. Ama toplamın karesi terim terim hesaplanmaz, (a + b)² = a² + 2ab + b²; dolayısıyla

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

çıkardı ve kök denklemde hâlâ, yalnızca daha çirkin bir biçimde pusuda beklerdi. Bu yüzden önce kökü bir tarafta yalnız bırakırız ve karesini ancak ondan sonra alırız:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Sağ tarafın karesini de aynı formülle aldık, (x − 3)² = x² − 6x + 9. İkinci dereceden denklem (x − 6)(x − 2) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır, kökleri x = 6 ve x = 2 olur. Doğrulamaya altıyla başlayalım:

$$\begin{array}{rcl}\text{Sol}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{Sağ}& =& 6\end{array}$$

Sol = Sağ sağlanıyor, altı uyuyor. Şimdi iki:

$$\begin{array}{rcl}\text{Sol}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{Sağ}& =& 2\end{array}$$

Dört iki değildir, Sol ≠ Sağ. İşte tuzak burada. Çözüm yalnızca x = 6.

İki doğrulamada neden elendi? Kökü yalnız bıraktıktan sonra elimizde $\sqrt{2x-3}=x-3$ vardı. Kök hiçbir zaman negatif değildir, bu yüzden denklem yalnızca x − 3’ün en az sıfır olduğu x değerleri için sağlanabilir. x = 2 için sağ taraf −1 olur ve bunu hiçbir kök vermez. Bu koşulu önceden de kontrol edebilirsin, ama sonda yerine yazmak daha rahattır ve her şeyi bir seferde yakalar.

Bazen doğrulama hiçbir şeyi geçirmez. $\sqrt{x}+5=1$ denklemi, kök yalnız bırakılınca $\sqrt{x}=-4$ olur. Kare alınca x = 16 çıkar, ama doğrulama $\text{Sol}=\sqrt{16}+5=9$ ve Sağ = 1 verir, yani Sol ≠ Sağ. Denklemin hiç çözümü yoktur; bu baştan belli olabilirdi, çünkü bir kök hiçbir zaman eksi dörde eşit olmaz.

İki Kök

Bir denklemde iki kök bir araya geldiğinde genellikle tek kare alma yetmez. Ama yöntem değişmez: yalnız bırak, karesini al ve kök kalırsa bütün turu tekrarla. Şu denklemi deneyelim:

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

İki kökü birden yalnız bırakmak mümkün değil, o yüzden en azından $\sqrt{x}$’i sağa atalım ki her kök ayrı bir tarafta olsun. Soldaki farkın karesini alsaydık $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$ çarpımı ortaya çıkardı ve bu çözümü epey karmaşıklaştırırdı. Bu yüzden kare almayı şöyle yapıyoruz:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Sağda yine iki terimli ifadenin karesini aldık, bu yüzden orta terim $2\sqrt{x}$ ortaya çıktı. Neyse ki iksler birbirini götürür ve tek kök kalır:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

İki kez kare aldık, bu yüzden doğrulama burada iki kat işe yarar:

$$\begin{array}{rcl}\text{Sol}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{Sağ}& =& 1\end{array}$$

Sol = Sağ, uyuyor, denklemin çözümü x = 4.