Equações irracionais

Uma equação irracional é uma equação em que a incógnita está escondida sob uma raiz. O nome não significa que a equação seja desarrazoada, apenas que nela aparecem raízes, das quais muitas vezes resultam números irracionais. Por exemplo, esta:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Nos livramos da raiz elevando a equação inteira ao quadrado. A potenciação e a raiz quadrada se cancelam mutuamente, porque ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Por segurança, ainda fazemos a verificação: substituímos o resultado separadamente no primeiro membro do enunciado, o membro esquerdo (ME), e separadamente no segundo, o membro direito (MD), e comparamos.

$$\begin{array}{rcl}ME& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ MD& =& 5\end{array}$$

Obtivemos ME = MD, confere. Essa substituição parece excesso de cuidado, mas, nas equações irracionais, faz parte do cálculo tanto quanto a própria potenciação; sem ela, você não tem o resultado. Todo o procedimento cabe em quatro passos: isolar a raiz, elevar a equação ao quadrado, terminar de resolver o que resultar e, por fim, fazer a verificação.

Por que a verificação é obrigatória

Elevar ao quadrado não é uma transformação equivalente. Da igualdade de dois números decorre a igualdade dos seus quadrados, mas no sentido contrário isso não funciona: 3 ≠ − 3, e mesmo assim 3² = (−3)² = 9. Ao elevar ao quadrado, pode surgir uma equação com mais soluções do que a original. Vejamos a equação

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Elevamos os dois membros ao quadrado e passamos tudo para um dos lados:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Obtivemos uma equação do 2º grau. Ela se fatora em (x − 2)(x + 1) = 0, então as raízes são x = 2 e x = −1. Chega a vez da verificação, primeiro com o dois:

$$\begin{array}{rcl}ME& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ MD& =& 2\end{array}$$

Os dois membros são iguais, ME = MD, então o dois é solução. E o menos um?

$$\begin{array}{rcl}ME& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ MD& =& -1\end{array}$$

No primeiro membro deu um e, no segundo, menos um, então ME ≠ MD. O menos um não é solução, embora o cálculo o tenha entregado honestamente. A equação tem uma única solução, x = 2.

De onde veio essa raiz falsa? Isso se vê melhor na figura. O primeiro membro da equação é a função $y=\sqrt{x+2}$ (em vermelho) e o segundo membro, a reta y = x (em azul). A solução da equação é o ponto em que as duas linhas se cruzam, e esse é somente o ponto (2, 2), ou seja, x = 2.

Em cinza tracejado está a função $y=-\sqrt{x+2}$. Quando elevamos ao quadrado $y=\sqrt{x+2}$ e $y=-\sqrt{x+2}$, o menos desaparece e das duas resulta o mesmo y² = x + 2. A potenciação funde, assim, as equações $\sqrt{x+2}=x$ e $-\sqrt{x+2}=x$ em uma só, e a equação do 2º grau encontra os pontos de interseção das duas. A curva cinza encontra a reta no ponto (−1, −1), e é justamente daí que vem o nosso menos um. Um intruso desses só a verificação revela com segurança.

A figura revela ainda outra coisa: as duas raízes, a vermelha e a cinza, só começam em x = −2. Sob a raiz não pode haver número negativo, então a equação só faz sentido para x ≥ − 2. O falso menos um cai nesse intervalo, e por isso a condição de existência não o pega. Ele só vem à tona na verificação.

Primeiro isolar a raiz

Vamos à próxima equação

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Dá uma enorme vontade de elevar logo ao quadrado o primeiro membro, junto com o três. Só que o quadrado de uma soma não se calcula termo a termo, (a + b)² = a² + 2ab + b², então resultaria

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

e a raiz continuaria à espreita na equação, só que numa forma mais feia. Por isso primeiro isolamos a raiz em um dos membros e só depois elevamos ao quadrado:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Elevamos o segundo membro ao quadrado pela mesma fórmula, (x − 3)² = x² − 6x + 9. A equação do 2º grau se fatora em (x − 6)(x − 2) = 0, com raízes x = 6 e x = 2. Começamos a verificação pelo seis:

$$\begin{array}{rcl}ME& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ MD& =& 6\end{array}$$

Vale ME = MD, o seis serve. Agora o dois:

$$\begin{array}{rcl}ME& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ MD& =& 2\end{array}$$

Quatro não é dois, ME ≠ MD. Pegadinha! A solução é apenas x = 6.

Por que o dois foi reprovado na verificação? Depois de isolar, tínhamos $\sqrt{2x-3}=x-3$. A raiz nunca é negativa, então a equação só pode valer para os x em que x − 3 é pelo menos zero. Para x = 2 o segundo membro é −1, e nenhuma raiz dá isso. Você pode controlar essa condição de antemão, mas a substituição no final é mais cômoda e pega tudo de uma vez.

Às vezes a verificação não deixa passar nada. A equação $\sqrt{x}+5=1$ se transforma, depois de isolar, em $\sqrt{x}=-4$. Depois de elevar ao quadrado, obtemos x = 16, mas a verificação dá $ME=\sqrt{16}+5=9$ e MD = 1, ou seja, ME ≠ MD. A equação não tem nenhuma solução, o que poderia estar claro desde o início, porque uma raiz nunca é igual a menos quatro.

Duas raízes

Assim que aparecem duas raízes na equação, geralmente uma única potenciação não basta. O procedimento, porém, não muda: isolar, elevar ao quadrado e, se sobrar uma raiz, repetir o ciclo inteiro. Vamos tentar esta equação

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Não dá para isolar as duas raízes ao mesmo tempo, então ao menos passamos $\sqrt{x}$ para a direita, para que cada raiz fique em um membro diferente. Se elevássemos ao quadrado a diferença da esquerda, obteríamos o produto $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, e isso complicaria bastante a solução. Assim, elevamos ao quadrado desta forma:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

À direita elevamos de novo um binômio ao quadrado, então apareceu ali o termo do meio $2\sqrt{x}$. Felizmente os x se cancelam e sobra uma única raiz:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/÷2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Elevamos ao quadrado duas vezes, então a verificação aqui vale em dobro:

$$\begin{array}{rcl}ME& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ MD& =& 1\end{array}$$

ME = MD, confere, a equação tem solução x = 4.