Matrice di cambiamento di base

Se abbiamo uno spazio vettoriale V e due sue basi, possiamo esprimere un vettore dello spazio come combinazione dei vettori di entrambe le basi. La matrice di cambiamento di base ci aiuta a convertire un’espressione nell’altra.

Perché serve

Consideriamo uno spazio vettoriale n-dimensionale V e due sue basi diverse E = {e₁, …, e_n} e F = {f₁, …, f_n}. Scegliamo poi un vettore x di V. Poiché x appartiene allo spazio V e poiché E ed F sono basi di questo spazio, devono esistere dei coefficienti a₁, …, a_n tali che:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

e allo stesso tempo devono esistere dei coefficienti b₁, …, b_n tali che:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Nel primo caso esprimiamo il vettore x mediante la base E, nel secondo mediante la base F. Usiamo due basi diverse per esprimere x, perciò otteniamo due diverse liste di coefficienti a_i e b_i (le coordinate rispetto alle due basi). Sorge la domanda: se conosciamo i coefficienti b_i, esiste un modo per ricavare da essi i coefficienti a_i, cioè l’espressione rispetto alla prima base?

Sì, serve a questo la cosiddetta matrice di cambiamento di base.

Come ottenere la matrice di cambiamento di base

Restiamo con lo spazio V e le due basi E = {e₁, …, e_n} e F = {f₁, …, f_n}. Poiché E è una base dello spazio V, anche tutti i vettori f₁, …, f_n si possono certamente esprimere come combinazioni lineari dei vettori della base E. I vettori f₁, …, f_n fanno sì parte della base F, ma sono anche normali elementi dello spazio V, quindi deve valere:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Ora riscriviamo queste equazioni in una matrice in modo che nella prima colonna ci siano i coefficienti del vettore $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, cioè a_i1, nella seconda i coefficienti del vettore $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, cioè a_i2, e così via. Otteniamo la matrice:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Una matrice di questo tipo si chiama matrice di cambiamento di base da E a F. Se abbiamo un vettore x = (x₁; …; x_n) di V che rispetto alla base F ha coefficienti b₁, …, b_n, i coefficienti a₁, …, a_n rispetto alla base E si ottengono così

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Esempio

Lavoriamo nello spazio vettoriale ℝ³. Scegliamo come prima base la base canonica E = {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)} e come seconda base F = {(2; 0; 0), (3; 2; 0), (1; 5; 4)}. La matrice di cambiamento di base da E a F avrà la forma

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Ora scegliamo un vettore qualsiasi x ∈ ℝ³, per esempio x = (12; 41; 28). Rispetto alla base F ha coefficienti b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Eseguiamo quindi il prodotto di matrici:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Rispetto alla base E il vettore x ha coefficienti a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Quindi vale:

$$(12;41;28)=12\cdot (1;0;0)+41\cdot (0;1;0)+28\cdot (0;0;1)$$