Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che è ancora chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale. Un sottospazio vettoriale W è allora un sottoinsieme dello spazio V tale che l’insieme W sia a sua volta uno spazio vettoriale. Un sottoinsieme non vuoto W ⊆ V deve quindi soddisfare queste due condizioni per essere un sottospazio vettoriale di V: per ogni x, y ∈ W e per ogni a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Dobbiamo quindi scegliere in V un sottoinsieme tale che i suoi vettori siano chiusi rispetto alla somma e alla moltiplicazione.

Sottospazi dello spazio R³

Prendiamo lo spazio ℝ³ e cerchiamo dei sottospazi.

1. Che ne dici di tutte le terne della forma (a; a; a), dove a ∈ ℝ? Cioè terne come $(1;1;1),(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ oppure (−π; −π; −π). Un tale sottospazio, che indichiamo con W₁, sarebbe un sottoinsieme dello spazio ℝ³, cioè W₁ ⊆ ℝ³, perché ℝ³ contiene semplicemente tutte le terne.

Un tale spazio sarebbe chiuso rispetto alla somma di vettori, perché

$$(a;a;a)+(b;b;b)=(a+b;a+b;a+b).$$

Sommando due vettori otterremmo un nuovo vettore che avrebbe di nuovo tre componenti uguali, e un tale vettore appartiene all’insieme W₁. L’insieme W₁ soddisfa quindi la prima condizione del sottospazio vettoriale. Ma soddisfa anche la seconda?

Sì, la soddisfa, perché il multiplo k cambia di nuovo tutte e tre le componenti del vettore, ma le cambia esattamente allo stesso modo:

$$k\cdot (a;a;a)=(k\cdot a;k\cdot a;k\cdot a).$$

Otteniamo di nuovo un vettore con tutte e tre le componenti uguali, e un tale vettore appartiene all’insieme W₁. L’insieme W₁ è quindi un sottospazio vettoriale di ℝ³.

• Possiamo provare a prendere tutte le terne (a; b; c) tali che a, b, c ∈ [−1; 1]. Indichiamo questo insieme con W₂; i suoi elementi sono per esempio le terne $(\frac{1}{2};-\frac{2}{7};\frac{8}{9})$ oppure $(0;\frac{\pi }{4};1)$. Gli elementi di W₂ sono chiusi rispetto alla somma? Certamente no, perché $(1;1;1)+(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4})$ è uguale alla terna $(\frac{3}{2};\frac{4}{3};\frac{5}{4})$, che non appartiene a W₂. L’insieme W₂ non forma quindi un sottospazio dello spazio ℝ³; anzi, W₂ non forma proprio uno spazio.

• Prendiamo ora tutte le terne della forma (a; 0; b), dove a, b ∈ ℝ. Sono tutte le terne che hanno la seconda componente nulla. Indichiamo questo insieme con W₃. Questo insieme è chiuso rispetto alla somma? Sì, lo è, perché

$$(a;0;b)+(c;0;d)=(a+c;0;b+d)$$

Il risultato è la terna (a + c; 0; b + d), che ha la seconda componente nulla e nelle altre due componenti numeri reali. Questa terna appartiene sicuramente a W₃. W₃ è chiuso rispetto alla moltiplicazione? Sì, lo è, perché

$$k\cdot (a;0;b)=(k\cdot a;0;k\cdot b)$$

Otteniamo di nuovo la terna (k · a; 0; k · b), che ha sempre la seconda componente nulla, mentre le altre componenti sono numeri reali. Una tale terna è un elemento di W₃. L’insieme W₃ forma quindi un sottospazio dello spazio ℝ³. Osserviamo che anche se le terne avessero la forma (a; b; 0) oppure (a; 0; 0), formerebbero ugualmente un sottospazio vettoriale.

Sottospazi dei polinomi

Nell’articolo precedente abbiamo visto lo spazio vettoriale formato dai polinomi. Per ripassare: un polinomio è un’espressione della forma

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Supponiamo che a_n ≠ 0. Il grado di un tale polinomio è allora proprio il numero n. I numeri reali a₀, …, a_n si chiamano coefficienti del polinomio. Un esempio di polinomio è l’espressione 4 + 3x − 7x². Proviamo a trovare un sottospazio vettoriale. Sia dunque P(x) lo spazio vettoriale di tutti i polinomi.

1. Come prima cosa proviamo con l’insieme di tutti i polinomi di grado n, dove n ≥ 0, che indichiamo con W₁. Nell’articolo precedente abbiamo già detto che questo non è affatto uno spazio vettoriale, quindi difficilmente sarà un sottospazio vettoriale dello spazio P(x). Ripetiamo che, se per esempio moltiplichiamo per zero un polinomio di W₁, otteniamo il polinomio p(x) = 0, che per definizione ha grado −1. Questo elemento non appartiene quindi sicuramente a nessun W₁.

2. Come W₂ proviamo a prendere tutti i polinomi di grado n e inferiore. Quindi per n = 2 in W₂ ci saranno tutti i polinomi di grado 2, 1, 0, −1. Questo insieme è chiuso rispetto alla somma? Sì, lo è, perché la somma di due polinomi di grado n non avrà mai grado maggiore di n, può avere solo grado minore. Allo stesso modo l’insieme è chiuso rispetto alla moltiplicazione, perché un qualsiasi multiplo k di un polinomio p(x) può avere come risultato o un polinomio dello stesso grado, oppure il polinomio nullo. Entrambe le possibilità sono coperte dall’insieme W₂, quindi W₂ forma un sottospazio dello spazio P(X).

Proprietà fondamentali dei sottospazi

Sia V uno spazio vettoriale e siano W₁ e W₂ due suoi sottospazi. Allora vale che

1. L’intersezione W₁ ∩ W₂ è un sottospazio vettoriale di V.

   Sia ℝ³ lo spazio vettoriale e siano W₁ e W₂ sottospazi tali che W₁ è formato dalle terne della forma (a; b; 0) e W₂ dalle terne della forma (a; 0; b), dove a, b ∈ ℝ. L’intersezione W₁ ∩ W₂ sarà quindi l’insieme che contiene le terne della forma (a; 0; 0): un tale insieme è evidentemente un sottospazio dello spazio ℝ³.

   Questa però, naturalmente, non è una dimostrazione. Ecco come sarebbe la dimostrazione: prendiamo uno spazio vettoriale qualsiasi V e due suoi sottospazi W₁ e W₂. Vogliamo dimostrare che per ogni x, y ∈ W₁ ∩ W₂ vale x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Poiché i vettori x e y sono contenuti nell’intersezione W₁ ∩ W₂, deve valere che x, y ∈ W₁ e allo stesso tempo x, y ∈ W₂ (questo segue dalla definizione di intersezione di insiemi). Poiché W₁ e W₂ sono anche spazi vettoriali, deve valere anche x + y ∈ W₁ e allo stesso tempo x + y ∈ W₂ (questo segue dalla definizione di spazio vettoriale). Ora abbiamo che x + y ∈ W₁ e allo stesso tempo x + y ∈ W₂, da cui segue che x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (di nuovo in base alla definizione di intersezione di insiemi: se un elemento sta nell’insieme W₁ e sta anche nell’insieme W₂, deve stare anche nella loro intersezione).

   Dobbiamo poi verificare la chiusura rispetto alla moltiplicazione. Dobbiamo dimostrare che per ogni k ∈ ℝ e x ∈ W₁ ∩ W₂ vale k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Il procedimento sarà lo stesso. Poiché x ∈ W₁ ∩ W₂, allo stesso tempo x ∈ W₁ e x ∈ W₂. Poiché W₁ e W₂ sono spazi, allora k · x ∈ W₁ e allo stesso tempo k · x ∈ W₂, e quindi k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. L’unione W₁ ∪ W₂ non è necessariamente un sottospazio di V.

   Per dimostrare la seconda proprietà basta trovare un opportuno controesempio. Ci bastano i sottospazi precedenti W₁ e W₂, formati rispettivamente dalle terne della forma (a; b; 0) e (a; 0; b). Se ne facciamo l’unione, otteniamo tutte le terne che devono avere uno zero al secondo o al terzo posto. Quindi i vettori (1; 0; 1) e (1; 1; 0) appartengono sicuramente all’unione W₁ ∪ W₂. Tuttavia la loro somma è uguale al vettore (2; 1; 1), che non ha lo zero da nessuna parte. Questo vettore non appartiene né a W₁ né a W₂, quindi non può appartenere nemmeno a W₁ ∪ W₂. Abbiamo così trovato due vettori la cui somma non appartiene allo stesso insieme, quindi non può trattarsi di uno spazio vettoriale.