Proprietà associativa

La proprietà associativa è una caratteristica di operazioni come per esempio l’addizione o la moltiplicazione. Guarda un po’ queste due scritture di addizioni:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Le espressioni differiscono solo per la posizione della parentesi. Differiscono però anche i risultati? Entrambe le espressioni portano allo stesso risultato: la somma è sempre uguale a 6. Se la posizione delle parentesi non influisce sul risultato, diciamo che l’operazione è associativa. Più precisamente possiamo scrivere che l’operazione a ∘ b è associativa se vale

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Un’altra operazione associativa è la moltiplicazione, perché vale

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operazioni che non sono associative

La sottrazione non è associativa. Come esempio possiamo prendere l’espressione (10 − 4) − 3. Prima calcoliamo la differenza nella parentesi e otteniamo 6 − 3, che è uguale a 3. Se però proviamo a calcolare 10 − (4 − 3), anche qui calcoliamo prima il contenuto della parentesi e otteniamo 10 − 1, che fa 9. L’operazione di sottrazione quindi non è associativa.

Allo stesso modo non è associativa la divisione. Come esempio prendiamo l’espressione (64 / 4) / 2. Come prima cosa calcoliamo la parentesi e otteniamo 16/2, che fa 8. Se però mettiamo la parentesi altrove, otteniamo 64 / (4 / 2), e dopo aver calcolato la parentesi abbiamo 64 / 2, che fa 32. L’operazione di divisione quindi non è associativa.

Un’altra tipica operazione che non è associativa è l’elevamento a potenza:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

La proprietà associativa riguarda una sola operazione!

Fai attenzione: la proprietà associativa riguarda sempre una sola operazione. Se avessimo un’espressione con tre numeri, ma le operazioni non fossero uguali, non potremmo applicare la regola associativa. Per esempio:

$$(1+2)\cdot 3$$

l’espressione contiene due operazioni: addizione e moltiplicazione. Entrambe le operazioni sono associative di per sé, ma ciononostante in questo caso non possiamo applicare la regola associativa, non possiamo trasformarla in

$$1+(2\cdot 3)$$

perché l’espressione contiene due operazioni diverse. Per poter applicare la regola associativa, dovrebbero essere entrambe addizioni o entrambe moltiplicazioni.

Intersezione e unione

L’intersezione di insiemi è associativa. Per esempio:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

trasformeremmo questa espressione calcolando prima l’intersezione degli insiemi nella parentesi, ottenendo

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

E l’intersezione di questi insiemi è {1}. Se spostassimo le parentesi, otterremmo

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

e dopo aver calcolato la parentesi:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

E otterremmo di nuovo {1}. Vediamo che la posizione delle parentesi non conta, e perciò l’intersezione di insiemi è associativa. Allo stesso modo sarebbe associativa l’unione di insiemi.

Composizione di parole / concatenazione

Immagina di avere un’operazione di addizione per parti di parole che significhi semplicemente unire le parole. Quindi «cavol» + «fiore» sarebbe uguale alla parola «cavolfiore». Una tale operazione sarebbe associativa. Per esempio, se scrivessimo («lam» + «pa») + «dina», sommando prima la parentesi otterremmo «lampa» + «dina», che ci darebbe la parola «lampadina». Se spostassimo le parentesi, «lam» + («pa» + «dina»), dopo la somma nella parentesi otterremmo «lam» + «padina», che ci darebbe di nuovo la parola «lampadina».

Il massimo o il minimo è associativo

Immaginiamo l’operazione a ∨ b, che ci restituisce il maggiore tra due numeri. Una tale operazione sarebbe associativa. Per esempio (5 ∨ 10) ∨ 7 lo trasformeremmo in 10 ∨ 7 e questo sarebbe uguale a 10. Il dieci è il più grande dei tre numeri. Se spostassimo le parentesi, otterremmo 5 ∨ (10 ∨ 7), dopo la trasformazione 5 ∨ 10, che è di nuovo 10.

Il minimo si comporterebbe esattamente allo stesso modo.