Frazioni algebriche

Una frazione algebrica è una frazione che ha un polinomio sia al numeratore sia al denominatore. Di solito cerchiamo di semplificarla in un’espressione più corta e più semplice.

Le basi

Ripetiamo: la frazione algebrica ha la forma seguente:

$$\frac{\text{polinomio}}{\text{polinomio}}$$

Un esempio di frazione algebrica è quindi la seguente espressione:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Il compito è semplificare questa espressione. Nella semplificazione usiamo gli stessi procedimenti che usiamo per trasformare i polinomi, quindi per esempio il raccoglimento e varie formule utili (i prodotti notevoli). Il capitolo successivo riassume le trasformazioni più usate.

Una frazione algebrica dovrebbe contenere una variabile al denominatore: per esempio, della seguente espressione non diciamo che è una frazione algebrica:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Per una frazione algebrica di solito determiniamo anche le condizioni di esistenza, cioè i valori per cui ha senso. In una frazione algebrica, infatti, il denominatore non può essere uguale a zero, perché, come sappiamo, per zero non si divide.

Tecniche

Per trasformare le espressioni usiamo molte tecniche; proverò a scrivere un riepilogo di quelle più comuni. Per prima cosa c’è la semplificazione delle frazioni. Se al numeratore e al denominatore abbiamo espressioni che sono solo moltiplicate tra loro, possiamo semplificare:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Qui abbiamo semplificato la variabile a. Se invece la frazione fosse questa

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

non possiamo semplificare. Il numeratore è una somma, quindi la semplificazione non è consentita. Capita spesso che il denominatore o il numeratore di una frazione sia una somma, ma nell’espressione si possa raccogliere qualcosa e poi semplificare. Per esempio nella frazione

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

il numeratore è una somma, ma possiamo raccogliere a e poi semplificare

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Una trasformazione frequente è anche la scomposizione secondo una formula. Sopra avevamo la frazione algebrica

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Se applichiamo al numeratore la formula

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

otteniamo una nuova frazione algebrica

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

e qui possiamo già semplificare l’intera parentesi (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Poi ci sono, naturalmente, varie addizioni e moltiplicazioni di polinomi, trasformazioni delle potenze, addizioni di frazioni e così via.

Primo esempio

Testo dell’esercizio:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vediamo che al numeratore e al denominatore possiamo raccogliere il 2, che poi possiamo semplificare:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Al numeratore possiamo raccogliere ancora il 3:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Possiamo semplificare l’intera espressione a + 2b e ci resta solo il 3:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Condizioni di esistenza di questa frazione algebrica:

$$a+2b\ne 0$$

Secondo esempio

Testo dell’esercizio:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Nel primo passo sottraiamo le frazioni nella parentesi interna:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Poi sviluppiamo la parentesi al denominatore. Gli studenti più attenti possono notare che si può applicare la formula a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Al denominatore della prima frazione abbiamo la stessa espressione che c’è al numeratore della seconda e, poiché queste frazioni si moltiplicano, possiamo semplificare per questa espressione:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Ora serve un po’ di lavoro meccanico: sviluppiamo e sommiamo le parentesi al numeratore e infine semplifichiamo senza difficoltà:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Le condizioni di esistenza si ricavano dal testo dell’esercizio. Qui ci sono in tutto tre frazioni e nessuno dei denominatori può essere uguale a zero.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Terzo esempio

Testo di un’altra frazione algebrica:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Come prima cosa, di nuovo senza molta fantasia, sommiamo e sottraiamo le espressioni nelle parentesi. La prima differenza è semplice, perché le due frazioni hanno lo stesso denominatore.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Sviluppiamo e sommiamo le espressioni ai numeratori:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Nella prima frazione semplifichiamo la variabile b e trasformiamo il 2 in una frazione con lo stesso denominatore (moltiplicando numeratore e denominatore per a), per poterlo sommare alla prima frazione:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Sommiamo le frazioni nella prima parentesi e nella seconda frazione raccogliamo a al numeratore.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Bene, ora possiamo semplificare a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Ora basta moltiplicare l’espressione a sinistra per la frazione.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Dalla prima parentesi raccogliamo il 2:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Ora possiamo semplificare (1 + a) (al denominatore c’è la stessa espressione, solo scritta al contrario: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Questa è la frazione algebrica finale semplificata: con questa espressione non c’è più niente di sensato da fare. Condizioni di esistenza:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Divisione tra polinomi

Puoi semplificare le frazioni algebriche anche con l’algoritmo della divisione tra polinomi. Può essere comodo quando non si può usare nessuno dei metodi classici di trasformazione delle espressioni.