Bruchterme

Ein Bruchterm ist ein Bruch, der im Zähler und im Nenner ein Polynom hat. Einen Bruchterm versuchen wir in der Regel zu einem kürzeren, schöneren Term zu vereinfachen.

Grundlagen

Noch einmal: Ein Bruchterm hat die folgende Form:

$$\frac{\text{Polynom}}{\text{Polynom}}$$

Ein Beispiel für einen Bruchterm ist der folgende Term:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Die Aufgabe besteht dann darin, diesen Term zu vereinfachen. Beim Vereinfachen verwenden wir dieselben Verfahren wie beim Umformen von Polynomen, also zum Beispiel das Ausklammern und verschiedene nützliche Formeln. Das nächste Kapitel fasst die gebräuchlichsten Umformungen zusammen.

Ein Bruchterm sollte im Nenner eine Variable enthalten. Der folgende Term zum Beispiel ist kein Bruchterm:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Bei einem Bruchterm bestimmen wir außerdem meistens die Definitionsmenge, also die Bedingungen, unter denen der Term einen Sinn hat. Für einen Bruchterm gilt nämlich, dass der Nenner nicht null sein darf, denn wie wir wissen, wird durch null nicht geteilt.

Techniken

Beim Umformen von Termen verwenden wir viele Techniken, ich versuche, eine Übersicht der gängigen zusammenzustellen. An erster Stelle steht das Kürzen von Brüchen. Wenn im Zähler und im Nenner Terme stehen, die nur miteinander multipliziert werden, können wir kürzen:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Hier haben wir die Variable a gekürzt. Wenn der Bruch so aussieht

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

dann können wir nicht kürzen. Der Zähler ist eine Summe, also ist das Kürzen nicht erlaubt. Oft ist zwar der Nenner oder der Zähler eines Bruchs eine Summe, aber wir können im Term etwas ausklammern und danach doch kürzen. Zum Beispiel haben wir im Bruch

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

im Zähler eine Summe, aber wir können a ausklammern und anschließend kürzen:

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Eine häufige Umformung ist auch das Zerlegen mithilfe einer Formel. Oben hatten wir den Bruchterm

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Wenn wir auf den Zähler die Formel

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

anwenden, erhalten wir den neuen Bruchterm

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

und hier können wir schon die ganze Klammer (x + 1) kürzen:

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Dazu kommen natürlich verschiedene Additionen und Multiplikationen von Polynomen, Umformungen von Potenzen, Addition von Brüchen usw.

Erstes Beispiel

Aufgabenstellung:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Wir sehen, dass wir im Zähler und im Nenner die Zwei ausklammern können, die wir dann anschließend kürzen können:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Im Zähler können wir noch die Drei ausklammern:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Den ganzen Term a + 2b können wir kürzen und es bleibt nur die Drei übrig:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Bedingung für diesen Bruchterm:

$$a+2b\ne 0$$

Zweites Beispiel

Aufgabenstellung:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Im ersten Schritt subtrahieren wir die Brüche in der inneren Klammer:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Dann multiplizieren wir die Klammer im Nenner aus. Aufmerksamere Schülerinnen und Schüler können bemerken, dass wir die Formel a² − b² anwenden können:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Im Nenner des ersten Bruchs steht derselbe Term wie im Zähler des zweiten Bruchs, und da wir diese Brüche multiplizieren, können wir mit diesem Term kürzen:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Jetzt müssen wir ein wenig Rechenarbeit leisten, die Klammern im Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen und schließlich einfach kürzen:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Die Bedingungen bestimmen wir anhand der Aufgabenstellung. Es kommen insgesamt drei Brüche vor, keiner der Nenner darf null sein.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Drittes Beispiel

Aufgabenstellung des nächsten Bruchterms:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Als Erstes addieren und subtrahieren wir wieder brav die Terme in den Klammern. Die erste Differenz ist einfach, denn beide Brüche haben denselben Nenner.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Wir multiplizieren aus und fassen die Terme in den Zählern zusammen:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Im ersten Bruch kürzen wir die Variable b und erweitern die Zwei mit a, damit wir sie zum ersten Bruch addieren können:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Wir addieren die Brüche in der ersten Klammer und klammern im zweiten Bruch im Zähler a aus.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

So, jetzt können wir a kürzen:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Jetzt multiplizieren wir nur noch den Term links mit dem Bruch.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Aus der ersten Klammer klammern wir die Zwei aus:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Jetzt können wir (1 + a) kürzen (im Nenner steht derselbe Term, nur in umgekehrter Reihenfolge a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Und das ist der endgültig vereinfachte Bruchterm, mit diesem Term lässt sich nichts Sinnvolles mehr anfangen. Bedingungen:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Polynomdivision

Bruchterme kannst du auch mithilfe des Algorithmus der Polynomdivision lösen. Das kann vorteilhaft sein, wenn sich kein klassisches Mittel zum Umformen von Termen anwenden lässt.