Gebroken uitdrukkingen

Een gebroken uitdrukking is een breuk met in zowel de teller als de noemer een veelterm. Een gebroken uitdrukking proberen we meestal te vereenvoudigen tot een kortere, mooiere uitdrukking.

Basis

Nog een keer dus, een gebroken uitdrukking heeft de volgende vorm:

$$\frac{\text{veelterm}}{\text{veelterm}}$$

Een voorbeeld van een gebroken uitdrukking is dus de volgende uitdrukking:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

De opdracht is dan om deze uitdrukking te vereenvoudigen. Daarbij gebruiken we dezelfde werkwijzen als bij het herleiden van veeltermen, dus we gebruiken bijvoorbeeld buiten haakjes brengen en allerlei nuttige formules. De volgende paragraaf vat de meest gebruikte omvormingen samen.

Een gebroken uitdrukking hoort in de noemer een variabele te hebben, van de volgende uitdrukking zeggen we bijvoorbeeld niet dat het een gebroken uitdrukking is:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Bij een gebroken uitdrukking bepalen we meestal ook de voorwaarden waaronder de gebroken uitdrukking zin heeft. Bij een gebroken uitdrukking mag de noemer namelijk niet nul zijn, want zoals we weten, delen door nul kan niet.

Technieken

Bij het herleiden van uitdrukkingen gebruiken we veel technieken, ik probeer een overzicht van de gebruikelijke op te schrijven. In de eerste plaats is dat het vereenvoudigen van breuken. Als we in de teller en de noemer uitdrukkingen hebben die alleen met elkaar vermenigvuldigd worden, kunnen we wegdelen:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Hier hebben we de variabele a weggedeeld. Als de breuk er zo uitziet

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

kunnen we niet wegdelen. De teller is een som, dus wegdelen is niet toegestaan. Vaak is de noemer of de teller van een breuk wel een som, maar kunnen we in de uitdrukking iets buiten haakjes brengen, en daarna kunnen we wel wegdelen. Bijvoorbeeld in de breuk

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

is de teller een som, maar we kunnen a buiten haakjes brengen en daarna wegdelen

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Een veelgebruikte omvorming is ook het ontbinden met een formule. Hierboven hadden we de gebroken uitdrukking

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Als we op de teller de formule

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

toepassen, krijgen we een nieuwe gebroken uitdrukking

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

en hier kunnen we de hele factor (x + 1) wegdelen:

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Daarnaast natuurlijk allerlei optellen en vermenigvuldigen van veeltermen, herleiden van machten, optellen van breuken enzovoort.

Eerste voorbeeld

De opgave:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

We zien dat we in de teller en de noemer een twee buiten haakjes kunnen brengen, die we daarna kunnen wegdelen:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

In de teller kunnen we nog een drie buiten haakjes brengen:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

De hele uitdrukking a + 2b kunnen we wegdelen en er blijft alleen de drie over:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

De voorwaarden van deze gebroken uitdrukking:

$$a+2b\ne 0$$

Tweede voorbeeld

De opgave:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

In de eerste stap trekken we de breuken af tussen de binnenste haakjes:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Daarna werken we de haakjes in de noemer uit. Slimme leerlingen zien misschien dat we de formule a² − b² kunnen toepassen:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

In de noemer van de eerste breuk hebben we dezelfde uitdrukking als in de teller van de tweede breuk, en omdat we deze breuken vermenigvuldigen, kunnen we met deze uitdrukking wegdelen:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Nu moeten we even flink rekenen: de haakjes in de teller uitwerken, optellen en ten slotte gewoon wegdelen:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

De voorwaarden bepalen we aan de hand van de opgave. Daarin staan in totaal drie breuken, en geen van de noemers mag gelijk zijn aan nul.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Derde voorbeeld

De volgende gebroken uitdrukking:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Eerst tellen we dus weer, saai genoeg, de uitdrukkingen tussen de haakjes op en trekken we ze af. Het eerste verschil is eenvoudig, want beide breuken hebben dezelfde noemer.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

we werken de haakjes uit en tellen de uitdrukkingen in de tellers op:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

In de eerste breuk delen we de variabele b weg en we breiden de twee uit met a, zodat we hem bij de eerste breuk kunnen optellen:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

We tellen de breuken in de eerste haakjes op en in de tweede breuk brengen we in de teller a buiten haakjes.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Zo, nu kunnen we a wegdelen:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Nu vermenigvuldigen we alleen nog de uitdrukking links met de breuk.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

In de eerste haakjes brengen we de twee buiten haakjes:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Nu kunnen we (1 + a) wegdelen (in de noemer staat dezelfde uitdrukking, alleen omgekeerd: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

En dat is de uiteindelijke vereenvoudigde gebroken uitdrukking, met deze uitdrukking valt niets zinnigs meer te doen. De voorwaarden:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Deling van veeltermen

Gebroken uitdrukkingen kun je ook oplossen met het algoritme van de staartdeling van een veelterm door een veelterm. Dat kan handig zijn als je geen van de klassieke middelen voor het herleiden van uitdrukkingen kunt gebruiken.