Дробни изрази

Дробният израз е дроб, която има в числителя и в знаменателя някакъв многочлен. Обикновено се стремим да опростим дробния израз до някакъв по-кратък, по-хубав израз.

Основи

Значи още веднъж, дробният израз има следния вид:

$$\frac{\text{многочлен}}{\text{многочлен}}$$

Пример за дробен израз е следният израз:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Задачата е да опростим този израз. При опростяването използваме същите подходи като при преобразуването на многочлени, така че използваме например изнасяне пред скоби и различни полезни формули. Следващият раздел обобщава най-често използваните преобразувания.

Дробният израз трябва да съдържа в знаменателя някаква променлива, например за този не казваме, че е дробен израз:

$$\frac{2x+3}{2}$$

При дробния израз обикновено определяме и условията, при които дробният израз има смисъл. При дробния израз знаменателят не бива да е равен на нула, защото, както знаем, на нула не се дели.

Техники

При преобразуването на изрази използваме много техники, ще се опитам да напиша обобщение на обичайните. На първо място това е съкращаването на дроби. Ако в числителя и в знаменателя имаме изрази, които само се умножават помежду си, можем да съкращаваме:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Тук съкратихме променливата a. Ако дробта изглеждаше така

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

не можем да съкращаваме. Числителят е сбор, така че съкращаването не е позволено. Често се случва числителят или знаменателят на дробта да е във вид на сбор, но в дадения израз можем да изнесем нещо пред скоби и тогава вече можем да съкращаваме. Например в дробта

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

числителят е във вид на сбор, но можем да изнесем a и след това да съкратим

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Често преобразуване е и разлагането на нещо по някаква формула. По-горе имахме дробния израз

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Ако приложим върху числителя формулата

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

получаваме нов дробен израз

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

и тук вече можем да съкратим цялата скоба (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Използват се, разбира се, и различни събирания и умножения на многочлени, преобразувания на степени, събиране на дроби и т.н.

Първи пример

Условие на примера:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Виждаме, че и в числителя, и в знаменателя можем да изнесем двойката, която след това можем да съкратим:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

В числителя можем да изнесем още тройката:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Целия израз a + 2b можем да съкратим и остава само тройката:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Условия на този дробен израз:

$$a+2b\ne 0$$

Втори пример

Условие на примера:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

В първата стъпка изваждаме дробите във вътрешната скоба:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

След това разкриваме скобата в знаменателя. По-наблюдателните ученици може да забележат, че можем да приложим формулата a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

В знаменателя на първата дроб имаме същия израз като в числителя на втората дроб и тъй като тези дроби умножаваме, можем да съкратим с този израз:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Сега трябва да свършим малко черна работа – да разкрием скобите и да съберем в числителя, и накрая просто да съкратим:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Условията определяме от първоначалния израз. Там има общо три дроби, нито един от знаменателите не бива да е равен на нула.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Трети пример

Условие на следващия дробен израз:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Значи първо отново скучно събираме и изваждаме изразите в скобите. Първата разлика ще е лесна, защото и двете дроби имат един и същ знаменател.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

разкриваме скобите и събираме изразите в числителите:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

В първата дроб съкращаваме променливата b и разширяваме двойката с a, за да можем да я прибавим към първата дроб:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Събираме дробите в първата скоба, а във втората дроб изнасяме в числителя a.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Така, сега можем да съкратим a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Сега само умножаваме израза отляво с дробта.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

От първата скоба изнасяме двойката:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Сега можем да съкратим (1 + a) (в знаменателя е същият израз, само че с разменени събираеми, a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

И това е крайният опростен дробен израз, с този израз вече не може да се прави нищо смислено. Условия:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Деление на многочлени

Дробните изрази можеш да опростиш и с помощта на алгоритъма за деление на многочлен на многочлен. Това може да е удобно, когато не може да се използва някой от обичайните похвати за преобразуване на изрази.