Fracții algebrice

Fracția algebrică este o fracție care are la numărător și la numitor câte un polinom. De obicei încercăm să simplificăm o fracție algebrică până la o expresie mai scurtă și mai frumoasă.

Noțiuni de bază

Deci, încă o dată, fracția algebrică are următoarea formă:

$$\frac{\text{polinom}}{\text{polinom}}$$

Un exemplu de fracție algebrică poate fi următoarea expresie:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Sarcina este apoi să simplificăm această expresie. La simplificare folosim aceleași procedee ca atunci când transformăm polinoame, așa că folosim, de exemplu, scoaterea factorului comun și diverse formule utile. Capitolul următor rezumă cele mai folosite transformări.

Fracția algebrică ar trebui să conțină o variabilă la numitor; de exemplu, despre aceasta nu spunem că este o fracție algebrică:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Pentru o fracție algebrică stabilim de obicei și condițiile de existență, adică condițiile în care fracția are sens. La o fracție algebrică, numitorul nu poate fi egal cu zero, pentru că, după cum știm, nu se împarte la zero.

Tehnici

La transformarea expresiilor folosim multe tehnici; voi încerca să scriu un rezumat al celor obișnuite. În primul rând este simplificarea fracțiilor. Dacă la numărător și la numitor avem expresii care sunt doar înmulțite între ele, putem simplifica:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Aici am simplificat cu a. Dacă fracția ar arăta așa

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

atunci nu putem simplifica. Numărătorul este o sumă, deci simplificarea nu este permisă. Se întâmplă des ca numitorul sau numărătorul fracției să fie de forma unei sume, dar în expresia dată să putem scoate ceva factor comun și după aceea putem simplifica. De exemplu, la fracția

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

avem numărătorul sub forma unei sume, dar putem scoate factor comun a și apoi simplifica

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

O transformare frecventă este și descompunerea unei expresii după o formulă. Mai sus am avut fracția algebrică

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Dacă aplicăm la numărător formula

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

obținem o nouă fracție algebrică

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

și aici putem simplifica deja cu întreaga paranteză (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Apoi, desigur, diverse adunări și înmulțiri de polinoame, transformări de puteri, adunări de fracții etc.

Primul exemplu

Enunțul exemplului:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vedem că la numărător și la numitor putem scoate factor comun doi, cu care apoi putem simplifica:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

La numărător putem scoate în continuare factor comun trei:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Putem simplifica cu întreaga expresie a + 2b și rămâne doar trei:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Condițiile de existență ale acestei fracții algebrice:

$$a+2b\ne 0$$

Al doilea exemplu

Enunțul exemplului:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

În primul pas scădem fracțiile din paranteza interioară:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Apoi desfacem parantezele de la numitor. Elevii mai atenți pot observa că putem aplica formula a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

La numitorul primei fracții avem aceeași expresie ca la numărătorul celei de-a doua fracții și, fiindcă aceste fracții se înmulțesc, putem simplifica cu această expresie:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Acum trebuie să facem puțină muncă de rutină: desfacem parantezele de la numărător, adunăm termenii și la final simplificăm:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Condițiile de existență le stabilim pe baza enunțului. Acolo sunt în total trei fracții, niciunul dintre numitori nu poate fi egal cu zero.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Al treilea exemplu

Enunțul unei alte fracții algebrice:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Deci mai întâi efectuăm din nou, plictisitor, adunările și scăderile din paranteze. Prima diferență va fi simplă, pentru că ambele fracții au același numitor.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

desfacem parantezele și adunăm expresiile de la numărători:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

În prima fracție simplificăm cu b și amplificăm pe doi cu a, ca să-l putem aduna la prima fracție:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Adunăm fracțiile din prima paranteză, iar în a doua fracție scoatem factor comun a la numărător.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Acum putem simplifica cu a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Acum înmulțim doar expresia din stânga cu fracția.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Din prima paranteză scoatem factor comun doi:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Acum putem simplifica cu (1 + a) (la numitor este aceeași expresie, doar scrisă invers, a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Aceasta este fracția algebrică finală simplificată, cu această expresie nu mai putem face nimic rezonabil. Condițiile de existență:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Împărțirea polinoamelor

Fracțiile algebrice le poți rezolva și cu ajutorul algoritmului de împărțire a unui polinom la un polinom. Poate fi avantajos atunci când nu se poate folosi niciun procedeu clasic de transformare a expresiilor.