Frações algébricas

Uma fração algébrica é uma fração que tem no numerador e no denominador algum polinômio. Normalmente tentamos simplificar uma fração algébrica, transformando-a em uma expressão mais curta e mais bonita.

Noções básicas

Então, mais uma vez, a fração algébrica tem a seguinte forma:

$$\frac{\text{polinômio}}{\text{polinômio}}$$

Um exemplo de fração algébrica pode ser a seguinte expressão:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

A tarefa é simplificar essa expressão. Na simplificação usamos os mesmos procedimentos de quando simplificamos polinômios, então usamos, por exemplo, a colocação em evidência e diversas fórmulas úteis. O próximo capítulo resume as transformações mais usadas.

Uma fração algébrica deve conter alguma variável no denominador; por exemplo, da expressão a seguir não dizemos que seja uma fração algébrica:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Numa fração algébrica também costumamos determinar as condições de existência, isto é, as condições em que a fração algébrica faz sentido. Numa fração algébrica, o denominador não pode ser igual a zero, porque, como sabemos, não se divide por zero.

Técnicas

Ao simplificar expressões usamos muitas técnicas; vou tentar escrever um resumo das mais comuns. Em primeiro lugar, vem a simplificação de frações. Se temos no numerador e no denominador expressões que apenas se multiplicam entre si, podemos simplificar:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Aqui simplificamos a variável a. Se a fração fosse assim

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

não podemos simplificar. O numerador é uma soma, então a simplificação não é permitida. Muitas vezes acontece de o denominador ou o numerador da fração estar na forma de uma soma, mas podemos colocar algo em evidência na expressão dada e, depois disso, já podemos simplificar. Por exemplo, na fração

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

o numerador está na forma de uma soma, mas podemos colocar a em evidência e em seguida simplificar

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Outra transformação frequente é também a decomposição de algo por alguma fórmula. Acima tínhamos a fração algébrica

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Se aplicarmos ao numerador a fórmula

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

obtemos uma nova fração algébrica

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

e aqui já podemos simplificar o parêntese inteiro (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Depois há, é claro, diversas adições e multiplicações de polinômios, transformações de potências, adição de frações etc.

Primeiro exemplo

Enunciado do exemplo:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vemos que no numerador e no denominador podemos colocar o dois em evidência, e depois simplificá-lo:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

No numerador ainda podemos colocar o três em evidência:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

A expressão inteira a + 2b pode ser simplificada, e sobra apenas o três:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Condições de existência desta fração algébrica:

$$a+2b\ne 0$$

Segundo exemplo

Enunciado do exemplo:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

No primeiro passo subtraímos as frações do parêntese interno:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Em seguida desenvolvemos o parêntese do denominador. Os alunos mais atentos podem perceber que podemos aplicar a fórmula a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

No denominador da primeira fração temos a mesma expressão que no numerador da segunda e, como multiplicamos essas frações, podemos simplificar por essa expressão:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Agora precisamos de um pouco de trabalho braçal: desenvolver e somar os parênteses no numerador e, por fim, simplificar:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

As condições de existência determinamos pelo enunciado. Nele há três frações no total, e nenhum dos denominadores pode ser igual a zero.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Terceiro exemplo

Enunciado de outra fração algébrica:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Então, primeiro, de novo e sem graça, somamos e subtraímos as expressões dos parênteses. A primeira diferença será simples, porque as duas frações têm o mesmo denominador.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

desenvolvemos e somamos as expressões nos numeradores:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Na primeira fração simplificamos a variável b e ampliamos o dois por a, para poder somá-lo à primeira fração:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Somamos as frações do primeiro parêntese e, na segunda fração, colocamos a em evidência no numerador.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Pronto, agora podemos simplificar o a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Agora basta multiplicar a expressão da esquerda pela fração.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Do primeiro parêntese colocamos o dois em evidência:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Agora podemos simplificar (1 + a) (no denominador há a mesma expressão, só que escrita ao contrário, a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

E essa é a fração algébrica simplificada final; com essa expressão não dá mais para fazer nada razoável. Condições de existência:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Divisão de polinômios

As frações algébricas também podem ser resolvidas com o algoritmo de divisão de polinômio por polinômio. Isso pode ser vantajoso quando não é possível usar algum recurso clássico de simplificação de expressões.